Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 5 , determine as autofunções normalizadas do problema dado

y ' ' + λ y = 0 ,       y 0 = 0 ,       y ' 1 = 0

Passo 1

A solução para essa E D O é tal que:

y = c 1 s e n λ x + c 2 cos ⁡ λ x

De tal modo que:

y ' = λ c 1 cos ⁡ λ x - λ c 2 s e n ( λ x )

Aplicando as condições de contorno nós temos:

y 0 = c 2 = 0

y ' 1 = λ c 1 cos ⁡ λ

E considerando que c 1 não é zero, então:

cos ⁡ λ = 0  

Logo λ = ( 2 n - 1 ) π 2   p a r a   n = 1,2 , 3 , … pois o cosseno só é zero para π 2 , 3 π 2 , 5 π 2 , …

Passo 2

Agora vamos para a autofunção, como c 1 não é nulo então a autofunção será algo do tipo:

ϕ n = k n s i n ⁡ ( λ x )

Como temos λ então:

ϕ n = k n sin ⁡ 2 n - 1 π 2 x

Onde k n é uma constante tal como c 1 só que com um nome mais bonitinho, mas que formalmente está certo pois temos termos em n agora.

E pelo expressão ( 20 ) vemos que :

∫ 0 1 r x ϕ n 2 x d x = 1

E como a autofunção é normalizada então r x = 1 logo:

∫ 0 1 k n 2 sin 2 ⁡ 2 n - 1 π 2 x d x = 1

E a função sin 2 ⁡ x   pode ser escrita como:

cos 2 ⁡ x + sin 2 ⁡ x = 1

cos 2 ⁡ x - sin 2 ⁡ x = cos ⁡ 2 x

Então:

sin 2 ⁡ x = 1 2 - cos ⁡ 2 x 2

Então a integral fica:

k n 2 ∫ 0 1   1 2 - cos ⁡ 2 2 n - 1 π 2 x 2     d x = 1

k n 2 ∫ 0 1 1 2 - cos ⁡ 2 2 n - 1 π x 2 d x = 1

k n 2 x 2 - sin ⁡ 2 n - 1 π x 4   2 n - 1 π 0 1 = 1

Como sin ⁡ 2 n - 1 π sempre será zero para qualquer n inteiro então, pode-se retirar, então aplicando o intervalo nós teremos:

k n 2 2 = 1 → k n = 2

Então a autofunção normalizada será igual a:

ϕ n = 2 sin ⁡ 2 n - 1 π 2 x ; p a r a   n = 1,2 , 3 , …  

Suprimimos o caso de λ = 0 pois nesse caso dado e pelos valores de contornos dados ele não será um autovalor válido, mas ele deve ser considerado no começo das contas.

Resposta

ϕ n = 2 sin ⁡ 2 n - 1 π 2 x ; p a r a   n = 1,2 , 3 , …  

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