Enunciado

Em cada um dos problemas de 7 a 16, encontre a solução geral da equação diferencial dada.

y ' ' + 4 y ' + 6,25 y = 0

Passo 1

O começo da nossa seção 3.3, temos uma equação geral dada por a y ' ' + b y ' + c y = 0 , onde a , b e c são números reais. Supondo como solução y = e r t , é possível descrever a nossa solução geral.

Passo 2

Primeiro fazendo uma pequena transformação, tome que

y ' ' + 4 y ' + 6,25 y = y ' ' + 4 y + 25 4 y = 0

Usando a ideia do passo 1, temos que

y ' ' + 4 y + 2 5 4 y = r 2 e r t + 4 r e r t + 2 5 4 e r t = 0

Na qual temos que y ' ' = r 2 e r t e y ' = r e r t

Assim temos nossa equação característica dada por

r 2 + 4 r + 2 5 4 = 0

Agora só precisamos resolver nossa equação de segundo grau. Lembra de Baskara? Tem gente que acha que não serve pra nada hahaha. Resolvendo nossa equação chegamos em

r = - 2 ± 3 2 i

Tendo como solução

y = c 1 e - 2   + 3 2 i t + c 2 e - 2 - 3 2 i t = e - 2 t ( c 1 e 3 2 i t + c 2 e - 3 2 i t )

Outra forma de escrevermos nossa solução é utilizando uma transformação pela fórmula de Euler e tomar

y = e - 2 t ( C 1 cos ⁡ 3 t / 2 + C 2   s e n   3 t / 2 )

Perceba que C 1 e C 2 são diferentes de c 1 e c 2 .

Resposta

y = e - 2 t ( C 1 cos ⁡ 3 t / 2 + C 2   s e n   3 t / 2 )

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