Enunciado

Em cada um dos problemas de 17 a 22, encontre a solução do problema de valor inicial. Esboçe o gráfico da solução e descreva seu comportamento para valores cada vez maiores de t .

y ' ' + 4 y ' + 5 y = 0 ,               y 0 = 1 ,         y ' 0 = 0

Passo 1

O começo da nossa seção 3.3, temos uma equação geral dada por a y ' ' + b y ' + c y = 0 , onde a , b e c são números reais. Supondo como solução y = e r t , é possível descrever a nossa solução geral.

Passo 2

Usando a ideia do passo 1, temos que

y ' ' + 4 y + 5 y = r 2 e r t + 4 r e r t + 5 e r t = 0

Na qual temos que y ' ' = r 2 e r t e y ' = r e r t .

Assim temos nossa equação característica dada por

r 2 + 4 r + 5 = 0

Agora só precisamos resolver nossa equação de segundo grau. Lembra de Baskara? Tem gente que acha que não serve pra nada hahaha. Resolvendo nossa equação chegamos em

r = - 2 ± i

Tendo como solução

y = C 1 e - 2 t c o s t + C 2 e - 2 t s e n t

Passo 3

Uma vez que encontramos a nossa solução, podemos agora resolver nosso problema de valor inicial. Assim teremos que

y 0 = C 1 cos ⁡ 0 + C 2   s e n   0 = C 1 = 1

E

y ' = - C 1 s e n t + 2 c o s t + C 2 ( - 2 e - 2 t s e n t + e - 2 t c o s t )

onde

y ' 0 = - 1 s e n 0 + 2 c o s 0 + C 2 - 2 e - 2 0 s e n 0 + e - 2 0 c o s 0 = 0

Tendo assim que

C 2 = 2

Assim temos que nossa solução é

y = e - 2 t c o s t + 2 e - 2 t s e n t

O que temos é uma função que oscila em torno de t . Se aumentarmos o valores de t , teremos que y decai. Assim temos um oscilador amortecido.

Resposta

y = e - 2 t c o s t + 2 e - 2 t s e n t

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