Enunciado

Em cada um dos Problemas 7 e 8, encontre a solução geral da equação diferencial dada. Deixe sua resposta em função de uma ou mais integrais.

8.

y ' ' ' - y ' = csc ⁡ t       0 < t < π

Passo 1

Peguemos a equação ordinária dada no problema:

y ' ' ' - y ' = csc ⁡ t       0 < t < π

Pensando nela, vamos encontrar nossa equação característica, que terá o seguinte formato:

p r = r 3 - r = 0

r r 2 - 1 = 0

r = 0

E da expressão entre parênteses:

r 2 - 1 = 0

r 2 =   1

r = ± 1

Assim, teremos as seguintes raízes:

r 1 = 0

r 2 = 1

r 3 = - 1

Passo 2

Agora observem que como a equação ordinária dada no exercício, não está igualada a zero, temos um exemplo de EDO não homogênea. Então como temos três raízes distintas, teremos a seguinte homogênea associada:

y t = C 1 + C 2 e t + C 3 e - t

Note que montamos a expressão acima, da seguinte forma:

→ P a r a   t r ê s   r a í z e s   d i f e r e n t e s : y = C 1 e r 1 t + C 2 e r 2 t + C 3 e r 3 t

Passo 3

Agora precisamos encontrar a nossa solução particular.

Dicazinha:É possível montar a solução particular, apenas trocando as constantes C n da homogênea associada, por outros parâmetros. Aqui escolhi u n .

Y p ( t ) = u 1 + u 2 e t + u 3 e - t   ( S o l u ç ã o   p a r t i c u l a r )

Repare que agora, precisamos de descobrir os valores de u 1 ,   u 2   e   u 3   p a r a   i n s e r i r   n a   s o l u ç ã o   p a r t i c u l a r

Para isso, necessitamos do sistema de matrizes genérico:

y 1 u 1 ' + y 2 u 2 ' + … + y n u n ' = 0

y 1 ' u 1 ' + y 2 ' u 2 ' + … + y n ' u n ' = 0

y 1 ' ' u 1 ' + y 2 ' ' u 2 ' + … + y n ' ' u n ' = 0

y 1 n - 1 u 1 ' + … + y n n - 1 u n ' = g

Porém pela regra de Cramer, esse sistema pode ser convertido para seguinte expressão:

u m ' t = g t W m t W t         e m   q u e   m = 1,2 , … , n

Aqui g(t) é a função da equação ordinária depois da igualdade (Aquela trazida lá no começo do problema!), correspondendo então, ao seguinte valor:

g t = csc ⁡ t

W t = W y 1 , y 2 , … , y n t e   W m é   o   d e t e r m i n a n t e   o b t i d o   d e   W   s u b s t i t u i n d o   a   m - é s i m a   c o l u n a   p e l a   c o l u n a   ( 0,0 , … , 0,1 )

Calma que eu já te explico, vem comigo!

Passo 4

Vamos calcular primeiramente o determinante de W(t)

Lembram da nossa solução particular? De lá temos:

y 1 = 1 ,   y 2 = e t   e   y 3 = e - t ,   q u e   s ã o   a s   f u n ç õ e s   q u e   a c o m p a n h a m   u 1 ,   u 2 e   u 3 s a c o u ?

Bora lá então e vamos inserir tudo isso na primeira linha, para derivarmos na sequência! ( D e r i v a r   a t é   y 1 ' ' ,   y 2 ' ' e   y 3 ' '   ) . Isso porque temos 3 termos, n=3 e sempre diminuímos uma unidade desse valor, o que resulta em 2, assim precisaremos ir até a derivada de segunda ordem.

W 1 , e t , e - t = 1 e t e - t 0 e t - e - t 0 e t e - t = 2

Agora precisamos descobrir o determinante de W 1 ,   W 2 e   W 3 :

W 1 t = 0 e t e - t 0 e t - e - t 1 e t e - t = - 2

W 2 t = 1 0 e - t 0 0 - e - t 0 1 e - t = e - t  

W 3 t = 1 e t 0 0 e t 0 0 e t 1 =   e t

Repare que a única diferença para o cálculo de cada um desses determinantes, foi a posição da coluna (0,0,1).

Já que possuímos tudo que precisamos, vamos encontrar u 1 ' ,   u 2 ' e   u 3 '

u 1 ' t = g t W 1 t W t = - 2 csc ⁡ t 2 = - csc ⁡ t

u 2 ' t = g t W 2 t W t = csc ⁡ t ( e - t ) 2   = 1 2 e - t csc ⁡ t

u 3 ' t = g t W 3 t W t = csc ⁡ t ( e t ) 2   = 1 2 e t csc ⁡ t

Passo 5

Vamos resolver a integral de u 1 ' , e deixar u 2 '   e   u 3 '   em função das integrais (que foi solicitado pelo enunciado da questão), encontrando assim: u 1 ,   u 2   e   u 3 .

u 1 = - ∫ t 0 t c s c d s

Vamos resolver a integral indefinida:

∫ - csc ⁡ s d s = ∫ - csc ⁡ s   csc ⁡ s + cot ⁡ s csc ⁡ s + cot ⁡ s d s

∫ - csc 2 ⁡ s - csc ⁡ s cot ⁡ s csc ⁡ s + cot ⁡ s d s

Pelo método da substituição teremos que:

u = csc ⁡ s + cot ⁡ s

d u = - csc ⁡ s cot ⁡ s - csc 2 ⁡ s d s

Assim:

∫ d u u =   ln ⁡ u + C = ln ⁡ csc ⁡ s + cot ⁡ s + C

Logo:

u 1 = - ∫ t 0 t c s c d s = ln ⁡ csc ⁡ t + cot ⁡ t

u 2 = 1 2 ∫ t 0 t e - s csc ⁡ s d s

u 3 = 1 2 ∫ t 0 t e s csc ⁡ s d s

Passo 6

Chegamos ao último passo! Agora podemos escrever a nossa solução particular, trocando u 1 ,   u 2   e   u 3 , pelos respectivos valores e integrais encontrados no passo anterior. Assim teremos:

Y p t = ln ⁡ csc ⁡ t + cot ⁡ t + e t 2 ∫ t 0 t e - s csc ⁡ s d s + e - t 2 ∫ t 0 t e s csc ⁡ s d s

Portanto temos os dados necessários para escrever a solução geral da equação diferencial que nos foi pedida. Esta será dada pela soma da homogênea associada com a solução particular encontrada. Dessa forma, teremos:

y t = C 1 + C 2 e t + C 3 e - t + ln ⁡ csc ⁡ t + cot ⁡ t + e t 2 ∫ t 0 t e - s csc ⁡ s d s + e - t 2 ∫ t 0 t e s csc ⁡ s d s

Resposta

y t = C 1 + C 2 e t + C 3 e - t + ln ⁡ csc ⁡ t + cot ⁡ t + e t 2 ∫ t 0 t e - s csc ⁡ s d s + e - t 2 ∫ t 0 t e s csc ⁡ s d s

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