Enunciado

Em cada um dos problemas de 9 a 12, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Depois faça um gráfico da solução.

11.

y ' ' ' - y ' ' + y ' - y = sec ⁡ t ;     y 0 = 2 ,   y ' 0 = - 1 ,   y ' ' 0 = 1

Passo 1

Fala Galera!!

Para resolver essa questão, vamos começar pegando a equação ordinária dada no problema:

y ' ' ' - y ' ' + y ' - y = sec ⁡ t

A equação homogênea correspondente é a seguinte:

y ' ' ' - y ' ' + y ' - y = 0

Pensando nela, a nossa equação característica, terá o seguinte formato:

r 3 - r 2 + r - 1 = 0

r 2 r - 1 + r - 1 = 0

r 2 + 1 r - 1 = 0

Dessa forma, temos então que as raízes da homogênea associada são:

r = 1

r = ± i  

Passo 2

Aqui, Temos então que a que as raízes da equação característica são r 1 = 1 , r 2 = i e r 3 = - i . Assim, vemos que e t , cos ⁡ t e sen ⁡ t são as soluções da equação homogênea. Portanto, a solução para a homogênea associada é:

y C t = c 1 e t + c 2 cos ⁡ t + c 3 sen ⁡ t

Passo 3

Precisamos agora encontrar uma solução particular para a para a equação diferencial fornecida, para isso, podemos usar o método de variação dos parâmetros. Assim, a solução específica é dada por:

Y P t = ∑ m = 1 n y m ∫ t 0 t g t W m t W t d t

Em que g s é a função da equação ordinária depois da igualdade na equação diferencial dado no começo, W t = W y 1 , y 2 , … , y n t vem do determinante da matriz dos coeficientes

y 1 + y 2 + … + y n

y 1 ' + y 2 ' + … + y n '

y 1 ' ' + y 2 ' ' + … + y n ' '

y 1 n - 1 + … + y n n - 1

e W m t é obtido de   W   substituindo a m-ésima coluna pela coluna   ( 0,0 , … , 0,1 )

Passo 4

Vamos agora calcular W t . Assim temos:

W 1 , cos ⁡ t , sen ⁡ t = e t cos ⁡ t sen ⁡ t e t ' cos ⁡ t ' sen ⁡ t ' e t ' ' cos ⁡ t ' ' sen ⁡ t ' '

= e t cos ⁡ t sen ⁡ t e t - sen ⁡ t cos ⁡ t e t - cos ⁡ t - sen ⁡ t = sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 2 e t

Passo 5

Vamos agora calcular W 1 t , para isso pegamos a matriz acima e trocamos a coluna 1 por ( 0,0 , 1 ) . Assim temos:

W 1 t = 0 cos ⁡ t sen ⁡ t 0 - sen ⁡ t cos ⁡ t 1 - cos ⁡ t - sen ⁡ t = cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1

Passo 6

Vamos agora calcular W 2 t , para isso pegamos a matriz acima e trocamos a coluna 2 por ( 0,0 , 1 ) . Assim temos:

W 2 t = e t 0 sen ⁡ t e t 0 cos ⁡ t e t 1 - sen ⁡ t = e t sen ⁡ t - cos ⁡ t

Passo 7

Vamos agora calcular W 3 t , para isso pegamos a matriz acima e trocamos a coluna 3 por ( 0,0 , 1 ) . Assim temos:

W 3 t = e t cos ⁡ t 0 e t - sen ⁡ t 0 e t - cos ⁡ t 1 = - e t sen ⁡ t + cos ⁡ t

Passo 8

Agora, vamos calcular a solução particular. Assim temos:

Y P t = e t ∫ t 0 t sec ⁡ t 1 2 e t d t + cos ⁡ t ∫ t 0 t sec ⁡ t e t sen ⁡ t - cos ⁡ t 2 e t d t + sen ⁡ t ∫ t 0 t sec ⁡ t - e t sen ⁡ t + cos ⁡ t 2 e t d t

Y P t = e t 2 ∫ t 0 t e - t sec ⁡ t d t + cos ⁡ t 2 ∫ t 0 t tan ⁡ t - 1 d t - sen ⁡ t 2 ∫ t 0 t tan ⁡ t + 1 d t

Passo 9

Vamos calcular os termos separadamente. Assim temos:

e t 2 ∫ t 0 t e - t sec ⁡ t d t = e t 2 ∫ t 0 t e - t sec ⁡ t d t

cos ⁡ t 2 ∫ t 0 t tan ⁡ t - 1 d t = - cos ⁡ t 2 ln ⁡ cos ⁡ t + t = - t cos ⁡ t 2 - cos ⁡ t 2 ln ⁡ cos ⁡ t  

- sen ⁡ t 2 ∫ t 0 t tan ⁡ t + 1 d t = - sen ⁡ t 2 t - ln ⁡ cos ⁡ t = - t sen ⁡ t 2 + sen ⁡ t 2 ln ⁡ cos ⁡ t

Substituindo temos:

Y P t = e t 2 ∫ t 0 t e - t sec ⁡ t d t - t cos ⁡ t 2 - cos ⁡ t 2 ln ⁡ cos ⁡ t - t sen ⁡ t 2 + sen ⁡ t 2 ln ⁡ cos ⁡ t

Passo 10

Assim, podemos escrever a solução geral da seguinte forma:

y t = y C t + Y P t

Substituindo a solução da homogênea associada e a solução particular, temos:

y t = c 1 e t + c 2 cos ⁡ t + c 3 sen ⁡ t + e t 2 ∫ t 0 t e - t sec ⁡ t d t - t cos ⁡ t 2 - cos ⁡ t 2 ln ⁡ cos ⁡ t - t sen ⁡ t 2 + sen ⁡ t 2 ln ⁡ cos ⁡ t

Onde c 1 , c 2 e c 3  são constantes arbitrárias.

Passo 11

Podemos encontrar as constantes c 1 , c 2 e c 3 utilizando as condições iniciais.

As condições iniciais fornecidas são:

y 0 = 2 ,   y ' 0 = - 1 ,   y ' ' 0 = 1

Usando a primeira y 0 = 2 condição temos:

2 = c 1 e 0 + c 2 cos ⁡ 0 + c 3 sen ⁡ 0 + e 0 2 ∫ t 0 t e - 0 sec ⁡ 0 d t - 0 cos ⁡ 0 2 - cos ⁡ 0 2 ln ⁡ cos ⁡ 0 - 0 sen ⁡ 0 2 + sen ⁡ 0 2 ln ⁡ cos ⁡ 0

2 = c 1 + c 2

c 1 + c 2 = 2

Usando a segunda y ' 0 = - 1 condição temos:

y ' t = c 1 e t - c 2 sen ⁡ t + c 3 cos ⁡ t + e t 2 ∫ t 0 t e - t sec ⁡ t d t + e t 2 e - t sec ⁡ t - cos ⁡ t 2 + t sen ⁡ t 2 + sen ⁡ t 2 ln ⁡ cos ⁡ t + cos ⁡ t 2 tan ⁡ t - sen ⁡ t 2 - t cos ⁡ t 2 + cos ⁡ t 2 ln ⁡ cos ⁡ t - sen ⁡ t 2 tan ⁡ t

y ' t = c 1 e t - c 2 sen ⁡ t + c 3 cos ⁡ t + e t 2 ∫ t 0 t e - t sec ⁡ t d t + sec ⁡ t 2 - cos ⁡ t 2 + t sen ⁡ t 2 + sen ⁡ t 2 ln ⁡ cos ⁡ t - t cos ⁡ t 2 + cos ⁡ t 2 ln ⁡ cos ⁡ t - sen ⁡ t 2 tan ⁡ t

- 1 = c 1 e 0 - c 2 sen ⁡ 0 + c 3 cos ⁡ 0 + e 0 2 ∫ t 0 0 e - 0 sec ⁡ 0 d t + sec ⁡ 0 2 - cos ⁡ 0 2 + 0 sen ⁡ 0 2 + sen ⁡ 0 2 ln ⁡ cos ⁡ 0 - 0 cos ⁡ 0 2 + cos ⁡ 0 2 ln ⁡ cos ⁡ 0 - sen ⁡ 0 2 tan ⁡ 0

- 1 = c 1 + c 3 + 1 2 - 1 2

c 1 + c 3 = - 1

Usando a terceira y ' ' 0 = - 2 condição temos:

y ' ' t = c 1 e t - c 2 cos ⁡ t - c 3 sen ⁡ t + e t 2 ∫ t 0 t e - t sec ⁡ t d t + sec ⁡ t 2 + tan ⁡ t sec ⁡ t 2 + sen ⁡ t 2 + sen ⁡ t 2 + t cos ⁡ t 2 + cos ⁡ t 2 ln ⁡ cos ⁡ t + sen ⁡ t 2 tan ⁡ t - cos ⁡ t 2 + t sen ⁡ t 2 - sen ⁡ t 2 ln ⁡ cos ⁡ t - sen ⁡ t 2 - cos ⁡ t 2 tan ⁡ t - sen ⁡ t 2 sec 2 ⁡ t

y ' ' t = c 1 e t - c 2 cos ⁡ t - c 3 sen ⁡ t + e t 2 ∫ t 0 t e - t sec ⁡ t d t + sec ⁡ t 2 + tan ⁡ t sec ⁡ t 2 + sen ⁡ t 2 + t cos ⁡ t 2 + cos ⁡ t 2 ln ⁡ cos ⁡ t + sen ⁡ t 2 tan ⁡ t - cos ⁡ t 2 + t sen ⁡ t 2 - sen ⁡ t 2 ln ⁡ cos ⁡ t - cos ⁡ t 2 tan ⁡ t - sen ⁡ t 2 sec 2 ⁡ t

1 = c 1 e 0 - c 2 cos ⁡ 0 - c 3 sen ⁡ 0 + e 0 2 ∫ t 0 0 e 0 sec ⁡ 0 d t + sec ⁡ 0 2 + tan ⁡ 0 sec ⁡ 0 2 + sen ⁡ 0 2 + 0 cos ⁡ 0 2 + cos ⁡ 0 2 ln ⁡ cos ⁡ 0 + sen ⁡ 0 2 tan ⁡ 0 - cos ⁡ 0 2 + 0 sen ⁡ 0 2 - sen ⁡ 0 2 ln ⁡ cos ⁡ 0 - cos ⁡ 0 2 tan ⁡ 0 - sen ⁡ 0 2 sec 2 ⁡ 0

1 = c 1 - c 2 + 1 2 - 1 2

1 = c 1 - c 2

c 1 - c 2 = 1

Temos agora 3 equações e 3 variáveis:

c 1 + c 2 = 2

c 1 + c 3 = - 1

c 1 - c 2 = 1

Temos então que:

c 2 = c 1 - 1

Substituindo na primeira equação:

c 1 + c 1 - 1 = 2 → 2 c 1 = 3 → c 1 = 3 2

Logo,

c 2 = c 1 - 1 = 3 2 - 1 = 1 2

Substituindo na segunda equação temos:

c 1 + c 3 = - 1 → c 3 = - 1 - c 1 = - 1 - 3 2 = - 5 2

Então

c 1 = 3 2 ,   c 2 = 1 2   ,   c 3 = - 5 2

Passo 12

Portanto, a solução geral é obtida substituindo os valores encontras. Assim temos:

y t = 3 2 e t + 1 2 cos ⁡ t + - 5 2 sen ⁡ t + e t 2 ∫ t 0 t e - t sec ⁡ t d t - t cos ⁡ t 2 - cos ⁡ t 2 ln ⁡ cos ⁡ t - t sen ⁡ t 2 + sen ⁡ t 2 ln ⁡ cos ⁡ t

Passo 13

O gráfico da solução é apresentado abaixo:

Resposta

y t = 3 2 e t + 1 2 cos ⁡ t + - 5 2 sen ⁡ t + e t 2 ∫ t 0 t e - t sec ⁡ t d t - t cos ⁡ t 2 - cos ⁡ t 2 ln ⁡ cos ⁡ t - t sen ⁡ t 2 + sen ⁡ t 2 ln ⁡ cos ⁡ t

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