Enunciado

Dado que x ,   x 2   e 1 x são soluções da equação homogênea associada a:

x 3 y ' ' ' + x 2 y ' ' - 2 x y ' + 2 y = 2 x 4 ,       x > 0

Determine uma solução particular

Passo 1

Peguemos a equação ordinária dada no problema:

x 3 y ' ' ' + x 2 y ' ' - 2 x y ' + 2 y = 2 x 4

Primeiramente, repare que há um x 3 acompanhando o termo y ' ' ' da nossa equação, porém isso nunca pode acontecer!!

Vamos então dividir tudo por x 3

y ' ' ' + x - 1 y ' ' - 2 x - 2 y ' + 2 x - 3 y = 2 x

Agora sim, podemos trabalhar com nossa questão.

Passo 2

Como nos foi informado as três soluções da equação homogênea associada, podemos criar então nossa solução global para a homogênea associada, que por sua vez será:

y x = C 1 x + C 2 x 2 + C 3 x

Agora precisamos determinar, um solução particular para o problema.

Dicazinha:É possível montar a solução particular, apenas trocando as constantes C n da homogênea associada, por outros parâmetros, aqui escolhi u n .

Y p ( x ) = u 1 x + u 2 x 2 + u 3 x - 1

Repare que agora, precisamos de descobrir os valores de u 1 ,   u 2   e   u 3   p a r a   i n s e r i r   n a   s o l u ç ã o   p a r t i c u l a r

Para isso, necessitamos do sistema de matrizes genérico:

y 1 u 1 ' + y 2 u 2 ' + … + y n u n ' = 0

y 1 ' u 1 ' + y 2 ' u 2 ' + … + y n ' u n ' = 0

y 1 ' ' u 1 ' + y 2 ' ' u 2 ' + … + y n ' ' u n ' = 0

y 1 n - 1 u 1 ' + … + y n n - 1 u n ' = g

Porém pela regra de Cramer, esse sistema pode ser convertido para seguinte expressão:

u m ' x = g x W m x W x         e m   q u e   m = 1,2 , … , n

Aqui g(x) é a função da equação ordinária depois da igualdade (Mas se atentem que essa equação, vai ser a que organizamos no passo 1!), correspondendo então, ao seguinte valor:

g x = 2 x

W x = W y 1 , y 2 , … , y n t e   W m é   o   d e t e r m i n a n t e   o b t i d o   d e   W   s u b s t i t u i n d o   a   m - é s i m a   c o l u n a   p e l a   c o l u n a   ( 0,0 , … , 0,1 )

Calma que eu já te explico, vem comigo!

Passo 3

Vamos calcular primeiramente o determinante de W(x)

Lembram da nossa solução particular? De lá temos:

y 1 = x ,   y 2 = x 2   e   y 3 = x - 1 ,   q u e   s ã o   a s   f u n ç õ e s   q u e   a c o m p a n h a m   u 1 ,   u 2 e   u 3 s a c o u ?

Bora lá então e vamos inserir tudo isso na primeira linha, para derivarmos na sequência! ( D e r i v a r   a t é   y 1 ' ' ,   y 2 ' ' e   y 3 ' '   ) . Isso porque temos 3 termos, n=3 e sempre diminuímos uma unidade desse valor, o que resulta em 2, assim precisaremos ir até a derivada de segunda ordem.

W x , x 2 , x - 1 = x x 2 x - 1 1 2 x - x - 2 0 2 2 x - 3 = 6 x

Agora precisamos descobrir o determinante de W 1 ,   W 2 e   W 3 :

W 1 x = 0 x 2 x - 1 0 2 x - x - 2 1 2 2 x - 3 = - 3

W 2 x = x 0 x - 1 1 0 - x - 2 0 1 2 x - 3 = 2 x

W 3 x = x x 2 0 1 2 x 0 0 2 1 =   x 2

Repare que a única diferença para o cálculo de cada um desses determinantes, foi a posição da coluna (0,0,1).

Já que possuímos tudo que precisamos, vamos encontrar u 1 ' ,   u 2 ' e   u 3 '

u 1 ' x = g x W 1 x W x = 2 x ( - 3 ) 6 x = - x 2

u 2 ' x = g x W 2 x W x = 2 x ( 2 x ) 6 x = 4 6 x = 2 3 x

u 3 ' x = g t W 3 t W x = 2 x ( x 2 ) 6 x   = x 4 3

Passo 4

Vamos resolver a integral de u 1 ' , u 2 '   e   u 3 '   , encontrando assim: u 1 ,   u 2   e   u 3 .

u 1 = - ∫ x 0 x s 2 d s =   - x 3 3

u 2 = 2 3 ∫ x 0 x s   d s = 2 x 2 3 ( 2 ) = x 2 3

u 3 = 1 3 ∫ x 0 x s 4 d s = x 5 15

Passo 5

Chegamos ao último passo! Agora podemos escrever a nossa solução particular, trocando u 1 ,   u 2   e   u 3 , pelos respectivos valores encontrados no passo anterior. Assim teremos:

Y p ( x ) = - x 3 3 x + x 2 3 x 2 + x 5 15 x - 1

Y p x = - x 4 3 + x 4 3 + x 4 15 = x 4 15

Resposta

Y p x = x 4 15

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos Problemas 7 e 8, encontre a solução geral da equação diferencial dada. Deixe sua resposta em função de uma ou mais integrais.8. y ' ' ' - y ' = csc ⁡ t0tπ
Em cada um dos problemas de 1 a 6, use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.3. y ' ' ' - 2 y ' ' - y ' + 2 y = e 4 t
Em cada um dos problemas de 1 a 6, use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.4. y ' ' ' + y ' = sec ⁡ t , - π 2tπ 2
Em cada um dos problemas de 9 a 12, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Depois faça um gráfico da solução.10. y 4 + 2 y ' ' + y = sen ⁡ ty 0 = 2 ,y ' 0 = 0 ,y ' ' 0 = - 1,y ' ' ' 0 =
14. Encontre uma fórmula envolvendo integrais para uma solução particular da equação diferencial y ' ' ' - y ' ' + y ' - y = g ( t )