Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 12, encontre a solução geral do sistema de equações dado.

x ' = 2 - 5 1 - 2 x + - cos ⁡ t s e n   t

Passo 1

Primeiramente vamos determinar os autovalores e autovetores do sistema, determina a solução geral para um sistema homogêneo e por final iremos trabalhar com sistema não homogêneo.

Determinado os autovalores e autovetores:

Para isto utilizaremos a seguinte relação:

A - r I ξ = 0

Em que os autovalores serão as raízes do d e t ⁡ ( A - r I ) .

Determinando os autovalores:

det ⁡ A - r I = 2 - 5 1 - 2 - r 0 0 r

det ⁡ A - r I = 2 - r - 5 1 - 2 - r

det ⁡ A - r I = r 2 + 1

Tendo as raízes:

r 1,2 = ± i

Vamos agora determinar o autovetor associado, colocando r = i , temos:

A - r I ξ = 0

2 - i - 5 1 - 2 - i ∙ ξ 1 ξ 2 = 0

Reduzindo o sistema para:

2 - i ξ 1 - 5 ξ 2 = 0

Para r = i :

ξ 1 = 5 2 - i

x 1 t = 5 2 - i ∙ e i t

Vamos agora determinar o autovetor associado, colocando r = - i , como temos uma raiz complexa conjugado o autovetor será também complexo conjugado, temos:

Para r = - i :

v = 5 2 + i

x 2   = 5 2 + i e - i t

Determinando a parte homogênea temos:

x H t = 5 2 - i ∙ e i t

= 5 2 - i ∙ cos ⁡ t + i   s e n   t

= 5 cos ⁡ t 2 cos ⁡ t + s e n   t + i 5 s e n   t 2 s e n   t - cos ⁡ t

x H t = 5 cos ⁡ t 5   s e n   t 2 cos ⁡ t + s e n   t 2   s e n   t - cos ⁡ t = D y

Este D y deixarei ele ali para você já ter em mente quando ver ele.

Passo 2

Agora vamos determinar a solução para um sistema não homogêneo, que é objetivo do exercício:

Tendo x = T y , assumindo - cos ⁡ t s e n   t = g t substituiremos na equação inicial:

x ' = A x + g t

T y ' = A T y + g t

Multiplicando toda equação por T - 1 temos:

T - 1 T y ' = T - 1 A T y + T - 1 g t

Resultando em:

y ' = D y + h t

Em que D é matriz com diagonal principal formada pelos autovalores e h t = T - 1 g t .

Com isto enunciado podemos escrever a equação:

y ' = D y + T - 1 g t

Tendo a solução não homogênea, como:

x = T y

E podemos reescreve-la com estas letras, x P t = x H t ∫ x - 1 t g t , em que x H t é a solução homogênea e x p t solução não homogênea do sistema.

Determinado a aí inversa de x H - 1 :, invertendo a posição dos itens diagonal principal, invertendo o sinal da outra diagonal e sendo multiplicado pelo inverso de seu determinante, temos:

x H - 1 = - 1 5 2   s e n   t - cos ⁡ t - 5   s e n   t - 2 cos ⁡ t - s e n   t 5 cos ⁡ t

Multiplicando por g ( t ) , temos:

g t ∙ x H - 1 = - 1 5 2   s e n   t - cos ⁡ t - 5   s e n   t - 2 cos ⁡ t - s e n   t 5 cos ⁡ t - cos ⁡ t s e n   t

g t ∙ x H - 1 = 1 5 c o s   t - 2 5 sen ⁡ t s e n   t 2 5 cos ⁡ t + 1 5 s e n   t - cos ⁡ t - cos ⁡ t s e n   t

g t ∙ x H - 1 = - 1 5 cos 2 ⁡ t + 2 5 cos ⁡ t sen ⁡ t + s e n 2   t - 2 5 cos 2 ⁡ t - 1 5 cos ⁡ t s e n   t - cos ⁡ t s e n   t

g t ∙ x H - 1 = 6 5 sen 2 ⁡ t + 2 5 cos ⁡ t sen ⁡ t - 1 5 - 2 5 cos 2 ⁡ t - 6 5 cos ⁡ t s e n   t

Passo 3

Possuímos a equação x P t = x H t ∫ x - 1 t g t . Portanto, o único item que nos resta é integrar é último termo dela.

∫ x - 1 t g t = ∫ 6 5 sen 2 ⁡ t + 2 5 cos ⁡ t sen ⁡ t - 1 5 - 2 5 cos 2 ⁡ t - 6 5 cos ⁡ t s e n   t

= - 3 10 sen ⁡ 2 t + 1 5 s e n 2   t + 2 5 t - 1 10 s e n   2 t - 1 5 t - 3 5 s e n 2   t

= - 3 5 cos ⁡ t   s e n   t + 2 5 t + 1 5 s e n 2 t - 1 5 cos ⁡ t   s e n   t - 1 5 t - 3 5 s e n 2   t

Finamente agora podemos executar o produto para determinar a solução do sistema não homogêneo.

x P t = x H t ∫ x - 1 t g t

x P t = 5 cos ⁡ t 5   s e n   t 2 cos ⁡ t + s e n   t 2   s e n   t - cos ⁡ t - 3 5 cos ⁡ t   s e n   t + 2 5 t +     1 5 s e n 2 t - 1 5 cos ⁡ t   s e n   t - 1 5 t - 3 5 s e n 2   t

x P t = t 2 cos ⁡ t - s e n   t - 3 s e n 3   t - 3 cos 2 ⁡ t   s e n   t - cos 2 ⁡ t s e n   t + t cos ⁡ t - s e n 3   t

Passo 4

Agora temos a solução geral do sistema não homogêneo:

x t = x H t + x p t

x t = c 1 5 cos ⁡ t 2 cos ⁡ t + s e n   t + c 2 5 sen ⁡ t 2 sen ⁡ t - c o s   t +

t 2 cos ⁡ t - s e n   t - 3 s e n 3   t - 3 cos 2 ⁡ t   s e n   t - cos 2 ⁡ t s e n   t + t cos ⁡ t - s e n 3   t

Resposta

x t = c 1 5 cos ⁡ t 2 cos ⁡ t + s e n   t + c 2 5 sen ⁡ t 2 sen ⁡ t - c o s   t +

t 2 cos ⁡ t - s e n   t - 3 s e n 3   t - 3 cos 2 ⁡ t   s e n   t - cos 2 ⁡ t s e n   t + t cos ⁡ t - s e n 3   t

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