Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 6 :

( a ) Expresse a solução geral do sistema de equações dado como combinação e de funções reais

( b ) Desenhe, também um campo de direções, esboce algumas trajetórias e descreva o comportamento das soluções quando t → ∞

x ' = 2 - 5 1 - 2 x

Passo 1

Calculando os autovalores dessa matriz nós iremos obter:

det ⁡ 2 - r - 5 1 - 2 - r = 0

2 - r - 2 - r + 5 = 0

r 2 + 2 - 2 r - 4 + 5 = 0

r 2 + 1 = 0

r = ± i

Dessa vez temos uma solução puramente imaginária, ou seja, nós teremos algo do tipo:

x = c 1 ξ 1 e 0 + c 2 ξ 2 e 0

x = c 1 ξ 1 + c 2 ξ 2

Passo 2

O autovetor para r = i será:

2 - i - 5 1 - 2 - i ξ 1 1 ξ 2 1 = 0

Fazendo a multiplicação matricial nós teremos:

2 - i ξ 1 1 - 5 ξ 2 1 = 0

ξ 1 1 - 2 + i ξ 2 1 = 0

Se colocarmos ξ 1 1 = 2 + i e ξ 2 1 = 1 nós solucionaremos os dois casos. Então nosso autovetor será:

ξ 1 = 2 + i 1

Portanto a solução do sistema se dará fazendo:

x 1 = 2 + i 1 e i t = 2 + i 1 ( cos ⁡ t + i s e n   t )

x 1 = 2 cos ⁡ t - s e n   t cos ⁡ t + i 2 s e n   t + cos ⁡ t s e n   t

E a solução geral será na forma de:

x = c 1 2 cos ⁡ t - s e n   t cos ⁡ t + c 2 2 s e n   t + cos ⁡ t s e n   t

Se fizermos a solução com o autovalor r = - i estaríamos certos também.

Passo 3

O campo de direções desse sistema seria:

E como essa função forma uma espiral fechada então não dá para dizer o que acontece quando t → ∞ . Pois ele será uma função alternada.

Resposta

a )   x = c 1 2 cos ⁡ t - s e n   t cos ⁡ t + c 2 2 s e n   t + cos ⁡ t s e n   t

b )   I m a g e m   d o   P a s s o   3

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