Enunciado

Em cada um dos problemas de 24 a 27 , são dados os autovalores e autovetores de uma matriz A . Considere o sistema correspondente x ' = A x .

( a ) Esboce um retrato de fase do sistema

( b ) Esboce a trajetória que contém o ponto inicial ( 2,3 )

( c ) Para a trajetória no item ( b ) . Esboce os gráficos de x 1 e de x 2 em função de t no mesmo conjunto de eixos.

r 1 = 1 ,       ξ 1 = - 1 2

r 2 = - 2 ,   ξ 2 = 1 2

Passo 1

Seguindo o mesmo raciocínio que fizemos na questão anterior nós temos que a matriz A será entendida como:

A = a c b d

E pelos autovalores e autovetores temos que a matriz será igual a:

a - 1 c b d - 1 - 1 2 = 0

a + 2 c b d + 2 1 2 = 0

Fazendo as duas multiplicações vetoriais teremos:

- a + 1 + 2 c = 0 → 2 c - a = - 1

- b + 2 d - 2 = 0 → 2 d - b = 2

a + 2 + 2 c = 0 → a + 2 c = - 2

b + 2 d + 4 = 0 → 2 d + b = - 4

Comparando a primeira com a terceira e a segunda com a quarta nós teremos:

c = - 3 4 ; a = - 1 2

d = - 1 2 ; b = - 3

Deixando nossa matriz A como:

A = - 1 / 2 - 3 / 4 - 3 - 1 / 2

Isso deixa nosso retrato de fase igual a:

O que caracteriza em um sistema instável.

Passo 2

Como em ( 2,3 ) a região está decrescendo então ficaremos com a imagem do ponto até em baixo de forma que:

Onde x 1 é a horizontal e x 2   a vertical.

Passo 3

A equação que correlaciona x 1 e x 2 com o tempo é dada por:

x = x 1 x 2 = c 1 - 1 2 e t + c 2 1 2 e - 2 t

Aplicando a condição inicial ( t = 0 ) com x 1 = 2 e x 2 = 3 nós teremos:

2 = - c 1 + c 2

3 = 2 c 1 + 2 c 2

Então:

c 2 = 7 4

c 1 = - 1 4

Deixando nossa equação como:

x 1 = - 1 4 e t - 7 4 e - 2 t

x 2 = - 1 2 e t + 7 2 e - 2 t

E plotando as duas funções nós teremos:

As duas funções tendem a - ∞ .

Resposta

a )   I m a g e m   d o   p a s s o   1

b )   I m a g e m   d o   p a s s o   2

c )   I m a g e m   d o   P a s s o   3

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