Enunciado

Considere o sistema

( a ) Resolva o sistema para α = 0.5 . Quais são os autovalores da matriz de coeficientes? Classifique o ponto de equilíbrio na origem em relação ao tipo.

( b ) Resolva o sistema para α = 2 . Quais são os autovalores da matriz de coeficientes? Classifique o ponto de equilíbrio na origem em relação ao tipo.

( c ) As soluções encontradas em ( a ) e ( b ) exibem dois tipos de comportamento bem diferentes. Encontre os autovalores da matriz de coeficientes em função de α e determine o valor de α   entre 0.5 e 2 em que ocorre a transição de um tipo de comportamento para outro.

Passo 1

Cara, vamos começar pela c ? Pois ela é a parte teórica disso e com ela já matamos a questão de fato e qualquer dúvida em relação a essa matéria.

Os autovalores desse sistema serão iguais a:

det ⁡ - 1 - r - 1 - α - 1 - r = 0

- 1 - r 2 - α = 0

r 2 + 2 r + ( 1 - α ) = 0

Fazendo por Bháskara nós temos:

r 1 ; r 2 = - 2 ± 4 - 4 ( 1 - α ) 2

r 1 ; r 2 = - 1 ± α

Passo 2

Calculando o auto vetor para esses dois resultados de autovalor que encontramos nós temos:

Para r = - 1 - a teremos o autovetor ξ 1 :

- 1 + 1 + a - 1 - α - 1 + 1 + a ξ 1 1 ξ 2 1 = 0  

+ a - 1 - α a ξ 1 1 ξ 2 1 = 0

Fazendo a multiplicação vetorial teremos:

a ξ 1 1 - ξ 2 1 = 0 →   ξ 1 1 = a a ξ 2 1

- a ξ 1 1 + a ξ 2 1 = 0 → ξ 1 1 = a a ξ 2 1

Portanto o autovalor para r = - 1 - a será:

ξ 1 = a a 1

Portanto a solução para esse autovalor será:

x 1 = c 1 a a 1 e - 1 + a t

Passo 3

Agora para r = - 1 + a teremos um autovetor igual a ξ 2 :

- 1 + 1 - a - 1 - α - 1 + 1 - a ξ 1 2 ξ 2 2 = 0  

- a - 1 - α - a ξ 1 2 ξ 2 2 = 0

Fazendo a multiplicação vetorial teremos:

- a ξ 1 2 - ξ 2 2 = 0 → ξ 2 2 = - a ξ 1 2

- a ξ 1 2 - a ξ 2 2 = 0 → ξ 1 2 = - a a ξ 2 2

Nos dando um autovetor igual a:

ξ 2 = - a a 1

Portanto a solução será igual a:

x 2 = c 2 - a a 1 e - 1 + a t

Nos dando uma solução geral igual a:

x = c 1 a a 1 e - 1 + a t + c 2 - a a 1 e - 1 + a t

Passo 4

Por hora cara, vamos dizer que c 1 = 1 e c 2 e vamos escrever x 1 e de x 2 .

x 1 = a a e - 1 + a t - e - 1 + a t

x 2 = e - 1 + a t - e - 1 + a t

E pelo autovalor vemos que ocorre uma transição em

1 + a = 0

- 1 = a → a = 1

Pois quando r = 0 temos uma função constante. Então para α < 1 teremos um comportamento de x 1 e de x 2 parecido com:

Caracterizando em um sistema estável ( x 1 é a curva vermelha e x 2 a verde)

Agora para para α > 1 teremos:

O que caracteriza em um sistema instável.

A página para encontrar esses dois comportamentos estarão disponíveis em

https://www.desmos.com/calculator/nkozknv4vh

Basta variar α

Passo 5

Depois de ter matado a cobra e ter mostrado o pau que a matou vamos responder as questão.

Os autovalores que encontramos valem:

r 1 ; r 2 = - 1 ± α

Quando α = 2 teremos:

r 1 ; r 2 = - 1 ± 2 = ( - 2.4142 ; 0.4142 )

O que caracteriza em um sistema instável.

Plotando o campo de direções do sistema nós teremos:

Passo 6

Já para α = 0.5 teremos autovalores iguais a:

r 1 ; r 2 = - 1 ± 0.5 = ( - 1.707 ; 0.293 )

O que caracteriza em uma sistema estável. Plotando o campo de vetores nós temos:

Resposta

a ) ( r 1 ; r 2 ) = ( - 2.4142 ; 0.4142 )  

b ) r 1 ; r 2 = ( - 1.707 ; 0.293 )

c ) r 1 ; r 2 = - 1 ± α

t r a n s i ç ã o   e m   α = 1

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