Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 10 :

(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.

(b) Encontre, também, a matriz fundamental Φ ( t ) que satisfaz Φ ( 0 )   =   I .

x ' = 1 1 1 2 1 - 1 - 8 - 5 - 3 x

Passo 1

a) Para encontramos a matriz fundamento é necessária determinar os autovetores e autovalores da matriz que estamos trabalhando.

Caso você não tenha muito firme este assunto, recomendo que você visite a seção de álgebra linear do responde ai, vá em autovetores e autovalores e de uma revisada boa.

Passo 2

Temos os autovalores e autovetores como:

r 1 = - 2

ξ 1 = 4 - 5 - 7

r 2 = - 1

ξ 2 = 3 - 4 - 2

r 3 = 2

ξ ( 3 ) = 0 1 - 1

Aplicando a formula da solução geral temos:

x = c 1 x 1 t + c 2 x ( 2 ) t + c 3 x 3 t

Em que:

x ( 1 ) t = 4 - 5 - 7 ∙ e - 2 t

x ( 1 ) t = 4 e - 2 t - 5 e - 2 t - 7 e - 2 t

E:

x 2 t = 3 - 4 - 2 ∙ e - t

x 2 t 3 e - t - 4 e - t - 2 e - t

Novamente para a terceria parte:

x 3 t = 0 1 - 1 e 2 t

x 3 t = 0 e 2 t - e 2 t

Logo a solução geral fica:

x = c 1 4 e - 2 t - 5 e - 2 t - 7 e - 2 t + c 2 3 e - t - 4 e - t - 2 e - t + c 3 0 e 2 t - e 2 t

Como c 1 e c 2 formam um par fundamental de solução para equação:

x ' = P t x

Temos que a matriz fundamental pode ser determinada:

Ψ t = x 1 … x 2 …   … x n … x n

Aplicando a solução:

Ψ t = 4 e - t 3 e t 0 - 5 e - 2 t - 4 e - t e 2 t - 7 e 2 t - 2 e - t - e 2 t

Passo 3

b)Para solução específica teremos os valores de condição inicial:

x 0 = e 1

Aplicando a condição inicial em x 1 , X 0 = e 1 :

4 c 1 + 3 c 2 = 1

- 5 c 1 - 4 c 2 + c 3 = 0

- 7 c 1 1 - 2 c 2 - c 3 = 0

Resolvendo o sistema temos:

c 1 = - 1 2

c 2 = 1

c 3 = 3 2

Temos que:

X =   4 e - t 3 e t 0 - 5 e - 2 t - 4 e - t e 2 t - 7 e 2 t - 2 e - t - e 2 t ∙ - 1 2 1 3 2

X = - 2 e - 2 t + 3 e - t 5 e - 2 t 2 - 4 e - t + 3 e 2 t 2 7 e - 2 t 2 - 2 e - t - 3 e 2 t 2

Aplicando a condição inicial em x 2 ,   X 0 = e 2 :

4 c 1 + 3 c 2 = 0

- 5 c 1 - 4 c 2 + c 3 = 1

- 7 c 1 - 2 c 2 - c 3 = 0

Resolvendo o sistema temos:

c 1 = - 1 4

c 2 = 1 3

c 3 = 13 12

Temos a correspondente solução é:

X =   4 e - t 3 e t 0 - 5 e - 2 t - 4 e - t e 2 t - 7 e 2 t - 2 e - t - e 2 t ∙ - 1 4 1 3 13 12

X = - e - 2 t + e - t 5 e - 2 t 4 - 4 e - t 3 + 13 e 2 t 12 7 e - 2 t 4 - e - t 3 - 13 e 2 t 12

Aplicando a condição inicial em x 3 , X 0 = e 3 :

4 c 1 + 3 c 2 = 0

- 5 c 1 - 4 c 2 + c 3 = 0

- 7 c 1 - 2 c 2 - c 3 = 1

Resolvendo o sistema temos:

c 1 = - 1 4

c 2 = 1 3

c 3 = 1 12

Calculando a solução específica:

X = 4 e - t 3 e t 0 - 5 e - 2 t - 4 e - t e 2 t - 7 e 2 t - 2 e - t - e 2 t ∙ - 1 4 1 3 1 12

X = - e - 2 t + e - t 5 e - 2 t 4 - 4 e - t 3 + e 2 t 12 7 e - 2 t 4 - e - t 3 - e 2 t 12

Como a matriz fundamental de valores especificos é determinada por:

Φ t = Ψ t ∙ Ψ - 1 0

Calculando o determinando da d e t Ψ 0 :

d e t Ψ 0 = 4 3 0 - 5 - 4 1 - 7 - 2 - 1

d e t Ψ 0 = - 12

Ou aplicando as condições iniciais temos que:

Φ t = 1 12 - 24 e - 2 t + 36 e - t - 12 e - 2 t + 12 e - t - 13 e - 2 t + 12 e - t 30 e - 2 t - 48 e - t + 18 e 2 t 15 e - 2 t - 16 e - t + 13 e 2 t 15 e - 2 t - 16 e - t + e 2 t 42 e - 2 t - 24 e - t - 18 e 2 t 21 e - 2 t - 8 e - t - 13 e 2 t 21 e - 2 t - 8 e - t - e 2 t

Resposta

a) Ψ t = 4 e - t 3 e t 0 - 5 e - 2 t - 4 e - t e 2 t - 7 e 2 t - 2 e - t - e 2 t

b)

Φ t = 1 12 - 24 e - 2 t + 36 e - t - 12 e - 2 t + 12 e - t - 13 e - 2 t + 12 e - t 30 e - 2 t - 48 e - t + 18 e 2 t 15 e - 2 t - 16 e - t + 13 e 2 t 15 e - 2 t - 16 e - t + e 2 t 42 e - 2 t - 24 e - t - 18 e 2 t 21 e - 2 t - 8 e - t - 13 e 2 t 21 e - 2 t - 8 e - t - e 2 t

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