Enunciado

Em cada um dos problemas de 13 a 20, a matriz de coeficientes contém um parâmetro α. Em cada um desses problemas:

(a) Determine os autovalores em função de α.

(b) Encontre o valor ou valores críticos de α em que muda a natureza qualitativa do retrato de fase para o sistema.

(c) Desenhe retratos de fase para um valor de α ligeiramente menor, e para outro valor ligeiramente maior, do que cada valor crítico.

x ' = - 1 α - 1 - 1 x

Passo 1

Encontrando os autovalores dessa matriz nós teremos:

det ⁡ - 1 - r α - 1 - 1 - r = 0

- 1 - r 2 + α = 0

r 2 + 2 r + 1 + α = 0

E as raízes dessa equação do segundo grau serão:

r 1 ; r 2 = - 2 ± 4 - 4 ( 1 + α ) 2

r 1 ; r 2 = - 1 ± 1 - 1 - α = - 1 ± α i

Passo 2

Se α < 0 nós teremos um sistema com raízes reais e distintas, porém nós teremos um sistema estável se - 1 < α < 0 pois teremos duas raízes negativas, e teremos um sistema instável se α < - 1 nós teremos um sistema instável, pois pelo menos um valor será real e positivo. Agpra para qualquer α > 0 nós teremos um sistema oscilante porém estável. Portanto o ponto de equilíbrio será em α = - 1

α = 2

Sistema oscilante porém estável.

α = - 1 2

Estabilidade sem oscilação.

α = - 2

Instabilidade

α = 1

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Resposta

a ) r 1 ; r 2 = - 1 ± α i

b ) e q u i l i b r i o   e m   α = - 1 ;  

c )   I m a g e n s   d o   P a s s o   2

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