Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 6 :

( a ) Expresse a solução geral do sistema de equações dado como combinação e de funções reais

( b ) Desenhe, também um campo de direções, esboce algumas trajetórias e descreva o comportamento das soluções quando t → ∞

x ' = 3 - 2 4 - 1 x

Passo 1

Descobrindo o valor dos autovalores desse sistema nós teremos:

det ⁡ 3 - r - 2 4 - 1 - r = 0

3 - r - 1 - r + 8 = 0

r 2 + 1 - 3 r - 3 + 8 = 0

r 2 - 2 r + 5 = 0

Descobrindo os valores das raízes nós temos:

r 1 ; r 2 = 2 ± 4 - 4 × 5 2 = 1 ± - 4 = 1 ± 2 i

E como temos raízes complexas com parte real igual então nossa solução fica da seguinte maneira:

x = ξ 1 e r 1 t + ξ 2 e r 2 t

Sem nenhum valor de constante.

Passo 2

Para r = 1 - 2 i teremos o autovalor ξ 1 , ou seja:

3 - 1 + 2 i - 2 4 - 1 - 1 + 2 i ξ 1 1 ξ 2 1 = 0

2 + 2 i - 2 4 - 2 + 2 i ξ 1 1 ξ 2 1 = 0

Então pela multiplicação vetorial vemos que:

2 + 2 i ξ 1 1 - 2 ξ 2 1 = 0

1 + i ξ 1 1 = ξ 2 1

O que nos daria um auto vetor igual a:

ξ 1 = 1 1 + i

Isso para a primeira linha já para a segunda:

4 ξ 1 1 + - 2 + 2 i ξ 1 2 = 0

2 ξ 1 1 = 1 - i ξ 1 2

Se substituirmos ξ 1 1 = 1 e ξ 2 1 = 1 + i como no autovetor encontrado na primeira linha nós teremos:

2 = ( 1 - i ) ( 1 + i )

2 = 1 + i - i - i 2 = 2

O que nos dá o resultado correto. Logo a solução para esse autovalor será:

x 1 = 1 1 + i e 1 - 2 i t = 1 1 + i e t   e - 2 i t = 1 1 + i e t cos ⁡ - 2 t + i   s e n - 2 t

Pois e a i t   = cos ⁡ α t + i   s e n   ( α t ) e cos ⁡ - x = cos ⁡ x ; s e n - x = - s e n   x

x 1 = 1 1 + i e t cos ⁡ 2 t - i   s e n 2 t

x 1 = e t cos ⁡ 2 t cos ⁡ 2 t + s e n   2 t + i e t - s e n   2 t cos ⁡ 2 t

Pegando essa solução como solução geral do sistema nós vamos obter:

x = c 1 e t cos ⁡ 2 t cos ⁡ 2 t + s e n   2 t + c 2 e t - s e n   2 t cos ⁡ 2 t

Passo 3

Plotando o campo de direções temos:

Eu acho mó daora esse tipo de gráfico hahaha . E ele vai tender para um valor muito grande para t → ∞ . Sendo um sistema instável, até ressonante.

Resposta

x = c 1 e t cos ⁡ 2 t cos ⁡ 2 t + s e n   2 t + c 2 e t - s e n   2 t cos ⁡ 2 t

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