Enunciado

Em cada um dos problemas de 13 a 20, a matriz de coeficientes contém um parâmetro α. Em cada um desses problemas:

(a) Determine os autovalores em função de α.

(b) Encontre o valor ou valores críticos de α em que muda a natureza qualitativa do retrato de fase para o sistema.

(c) Desenhe retratos de fase para um valor de α ligeiramente menor, e para outro valor ligeiramente maior, do que cada valor crítico.

x ' = 5 / 4 3 / 4 α 5 / 4 x

Passo 1

Encontrando os autovalores desse sistema:

det ⁡ 5 4 - r 3 4 α 5 4 - r = 0

Fazendo essa determinantes nós teremos:

5 4 - r 2 - 3 α 4 = 0

r 2 - 5 2 r + 25 16 - 3 α 4

r 2 - 5 2 r + 25 - 12 α 16 = 0

Fazendo a equação do segundo grau:

r 1 ; r 2 = 5 4 ± 25 4 - 25 + 12 α 4 2

r 1 ; r 2 = 5 4 ± 1 2 0 + 3 α

r 1 ; r 2 = 5 4 ± 1 2 3 α

Passo 2

Então teremos duas situações aqui, quando α > 0 teremos um sistema com raízes reais e diferentes (porém sempre instável) e se temos um valor α < 0 teremos um sistema oscilante e instável, pois a parte real é positiva e teremos complexos conjugados.

Então o limiar é α = 0

Em ambos os casos o sistema é instável.

Para α = - 1

Agora para α = 1

Que é onde temos um autovalor instável

Agora para α = 3.1

Que aí os dois autovalores são instáveis.

α = 0

Resposta

a ) r 1 ; r 2 = 5 4 ± 1 2 3 α

b )   l i m i a r   α = 0 ; α > 0 → p o l o s   r e a i s   e   d i s t i n t o s ; a < 0 → o s c i l a t ó r i o   e   c r e s c e n t e

c )   I m a g e n s   d o   p a s s o   2

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Considere o sistema com duas massas e três molas cujas equações de movimento são as Eq.(22) no texto. Suponha que m 1=1 ,m 2=4 / 3 ,k 1=1 ,k 2=3ek 3=4 / 3 .(a) Como no texto, transforme o sistema em q
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