Enunciado

Nos problemas 23-34, mostre que as raízes indiciais diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno da singularidade regular x 0 = 0 . Encontre a solução geral em ( 0 ,   ∞ ) .

x 2 y ' ' + x ( x - 1 ) y ' + y = 0

Passo 1

E aí meu colega, bora lá?

Vamos utilizar y = ∑ n = 0 ∞ c n x n + r na nossa equação diferencial:

x 2 y ' ' + x ( x - 1 ) y ' + y = r 2 - 2 r + 1 c 0 x r + ∑ k = 1 ∞ k + r - 1 k + r c k - k + r - 1 c k + ( k + r - 1 ) c k - 1 x k + r = 0

Igualando os termos dos dois lados, temos

( r - 1 ) ² = 0

k + r - 1 2 c k + k + r - 1 c k - 1 = 0

Assim, as nossas raízes indiciais são r = 1

Passo 2

Temos as raízes indiciais r = 1

Então:

c k = - c k - 1 k ,   k = 1,2 , 3,4 …

Então, nossa solução geral é

y = c 0 . x . e - x

Resposta

y = c 0 . x . e - x

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