Enunciado

Cada um dos problemas 1 a 6 pode ser interpretado como descrevendo a interação de duas espécies com população x e y. E m cada um desses problemas, faça o seguinte:

a) Desenhe o campo de direções e descreva como as soluções parecem se comportar.

b) Encontro os pntos críticos.

c)Para cada ponto crítico, encontre o sistema linear correspondente. Encontre os autovalores e autovetores do sistema linear, classifique cada ponto crítico em relação ao tipo e determine se é assintoticamente estável, estável ou instável.

d) Esboce as trajetórias em uma vizinhança de cada ponto crítico.

e) Calcule e faça o gráfico de um número suficiente de trajetórias do sistema dado de modo a mostrarm claramente, o comportamento das soluções.

f) Determine o comportamento limite de x e y quando t → ∞ e interprete os resultados em termos das populações das suas espécies.

1. d x d t = x 1,5 - x - 0.5 y , d y d t = y 2 - y - 0,75 x

Passo 1

a)

Passo 2

Os pontos críticos sçao soluções so distema de equações

x 1,5 - x - 0,5 y = 0

y 2 - y - 0,75 x = 0

Os 4 pontos críticos são então (0,0), (0,2), (1,5 , 0) e (0,8, 1,4) .

Passo 3

A matriz jacobiana do campo de vetories é

J = 3 2 - 2 x - y 2 - x 2 - 3 y 4 2 - 3 x 4 - 2 y

No ponto critico (0,0) o coeficiente matricial do sistema linearizado é dado por

J 0,0 = 3 2 0 0 2

Os autovalores e autovetores são

r 1 = 1 2 ,   ξ ( 1 ) = 1 - 0,6 ; r 2 = - 2 ,   ξ 2 = 0 1

Os autovalores tem sinal oposto. Logo o ponto crítico é de sela, que é instável.

No ponto (1,5, 0) o coeficiente matriciano lineazrizado ficac

J 1,5 ,   0 = - 1,5 - 0,75 0 0,875

Os autovetores e autovalores são

r 1 = - 1,5 ,   ξ 1 = 1 0 ; r 2 = 0,875 ,   ξ 2 = - 0,31579 1

Os autovalores tem sinal oposto. Logo o ponto crítico é de sela, que é instável.

No ponto (0,8 , 1,4) o coeficiente matriciano lineazrizado ficac

J 1,5 ,   0 = - 0,8 - 0,4 - 1,05 - 1,4

Os autovetores e autovalores são

r 1 = - 11 10 + 51 10   ξ 1 = 1 3 - 51 4 ; r 2 = - 11 10 - 51 10 ,   ξ 2 = 1 3 + 51 4

Ambos os autovalores são negativos. Isso nos diz que o ponto crítico é um nó estável, que é assintoticamente estável.

Passo 4

d) e e)

Passo 5

f) Exceto pelas condições iniciais que estão nos eixos coordenados, qualse toda trajetória converge para o ponto está vel em (0,8, 1,4).

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Encontre os pontos críticos.
Encontre o ponto de bifurcação α0 no qual os pontos críticos coincidem. Localize esse ponto crítico e encontre os autovalores do sistema linear aproximado. Desenhe um retrato de fase..
Para αα0 não existem pontos críticos. Escolha um desses valores de α e desenhe um retrato de fase..
Encontre os pontos críticos.
Esboce as retas de crescimento nulo e descreva como os pontos críticos se movem quando α aumenta.