Enunciado

Considere o sistema autônomo

d x d t = x , d y d t = - 2 y + x 3

a) Mostre o que o ponto crítico (0,0) é um ponto de sela.

b) Esboce as trajetórias para o sistema linear correspondente e mostre que a trajetória na qual x → 0 ,   y → 0 quando t → ∞ é x = 0 .

c) Determine as trajetórias para o sistema não linear x ≠ 0 integrando a equação para d y d t .   Mostre que a trajetória correspondente a x = 0 para o sistema não-linear não se altera, mas que a correspondente a y = 0 é y = x 3 5 . Esboce diversas trajetórias para o sistema não-linear.

Passo 1

a) O sistema é

d d t x y = 1 0 0 - 2 x y + 0 x 3

Aplicando no ponto critico (0,0) temos r 1 = 1 ,     r 2 = - 2 .   Os autovalores são reais e de sinais diferentes, logo sabemos que aorigem é um ponto de sela instável para ambos os sistemas lineares e quase linear.

Passo 2

b) A trajetória do sistema linear são soluções de

d x d t = x   e   d y d t = - 2 y

Logo temos x t = c 1 e t e y t = c 2 e - 2 t

Para esboçar isso resolvemos a primeira equação para e t e substituímos o resultado na segunda equação e obtemos y = c 1 2 c 2 x 2 , c 1 ≠ 0 .

Várias trajetórias são mostradas na figura abaixo.

Como x t = c 1 e t ,   nós devemos escolher c 1 = 0 para x → 0   e   t → ∞ .

Logo x = 0 ,   y = c 2 e - 2 t é a única trajetória para o qual x → 0 ,   y → 0   quando t → ∞

Passo 3

c) Para x ≠ 0 nós temos

d y d x = d y d t

d x d t = - 2 y + x 3 x

Isso é uma equação linear e a solução geral é y = x 3 5 + k / x 2 onde k é uma constante arbitrária.

O sistema de equações ainda tem a solução x = 0 ,   y = B e - 2 t . Qualquer solução como ponto incial no eixo y, ou seja x = 0 é dada pela última solução. As trajetórias correspondentes a essas soluções se aproximam da origem quando t → ∞ .

A trajetória qua passa pela origem é dada por k = 0 ,   y = x 3 5 . Essa trajetória corresponde a trajetória y = 0 para o problema linear. Várias trajetórias são esboçadas na figura abaixo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Para cada ponto crítico, encontre o sistema linear correspondente. Encontre os autovalores e autovetores do sistema linear; classifique cada ponto crítico em relação ao tipo e determine se é assintoti
Desenhe um campo de direções e descreva como as soluções parecem se comportar.
Encontre os pontos críticos.
Desenhe um campo de direções e descreva como as soluções parecem se comportar.
Determine o comportamento limite de x e y quando t → ∞ e interprete os resultados em termos das populações das duas espécies..