Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 8, resolva a equação diferencial dada.

y ' = x 2 y

Passo 1

A EDO acima, é do tipo que pode separar para calculcar a solução. A resolução dela é bem parecida com o que fizemos anteriormente em EDO de primeira ordem, só que agora antes de calcular a EDO precisamos de algumas manobras matemáticas.

Vamos considerar o seguinte:

Sabemos que y ' =   d y d x , vamos substituir na equação

d y d x = x 2 y

Passo 2

Agora, vamos deixar tudo que tem y de um lado e tudo que tem x do outro lado.

Assim, temos:

y   d y =   x 2 d x

Agora para termos uma equação dependendo de y e de x, basta integrar dos dois lados.

Passo 3

Integrando dos dois lados, temos:

∫ y   d y =   ∫ x 2   d x

y 2 2 + c =   x 3 3 + c '

y 2 2 =   x 3 3 + C

Considerando a junção de c com c’, temos o C.

Agora, deixando a equação em função de y, temos:

y 2 =   2 x 3 3 + 2 C

y = 2 x 3 3 + 2 C

Chamando 2C de uma constante única igual a A, temos:

y = 2 x 3 3 + A

Note que a resposta y = - 2 x 3 3 + A

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Resposta

y = ± 2 x 3 3 + A

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