Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 6, resolva o sistema de equações dado ou mostre que não tem solução.

4.

x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 2 x 1   + x 2 + x 3 = 0 x 1 - x 2 + 2 x 3 = 0

Passo 1

Fala galera!!

Nos foi dado o seguinte sistema de equações:

x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 2 x 1   + x 2 + x 3 = 0 x 1 - x 2 + 2 x 3 = 0

Nosso objetivo é determinar se o sistema de equações tem uma solução ou não.

Passo 2

Para resolves essa questão, podemos escrever o sistema de equações na forma de matriz. Assim temos:

1 2 - 1 2 1 1 1 - 1 2 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Podemos escrever a matriz aumentada para o sistema da seguinte maneira:

1 2 - 1 2 1 1 1 - 1 2 0 0 0

Passo 3

Agora, vamos usar as operações de linha para tornar a matriz mais simples de resolver. Assim temos:

1 2 - 1 2 1 1 1 - 1 2 0 0 0 L 2 → L 2 - 2 L 1 L 3 → L 3 - L 1 = 1 2 - 1 0 - 3 3 0 - 3 3 0 0 0

1 2 - 1 0 - 3 3 0 - 3 3 0 0 0 L 3 → L 3 - L 2 = 1 2 - 1 0 - 3 3 0 0 0 0 0 0

Passo 4

A matriz aumentada obtida onde é:

1 2 - 1 0 - 3 3 0 0 0 0 0 0

O sistema de equações na forma de matriz é o seguinte:

1 2 - 1 0 - 3 3 0 0 0 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

O sistema de equações correspondente é:

x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 - 3 x 2 + 3 x 3 = 0

Passo 5

Para resolver o sistema equações acima, podemos tomar  x 3 = α (uma constante arbitrária).

Então, a partir da segunda equação do sistema

- 3 x 2 + 3 x 3 = 0

- 3 x 2 + 3 α = 0

x 2 = α

Substituindo x 2 e x 3 na primeira equação, temos:

x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0

x 1 + 2 α - α = 0

x 1 + 2 α - α = 0

x 1 = - α

Portanto, a solução do sistema de equações dado é  x 1 = - α ,   x 2 = α ,   x 3 = α .

Aqui,  α  é uma constante arbitrária.

Resposta

x 1 = - α ,   x 2 = α ,   x 3 = α

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Vamosmostrar, nesse problema, que os autovalores de uma matriz autoadjunta A sãoreais. Seja x um autovetor associado ao autovalor λ. (a) Mostre que ( A x ,x )=( x ,A x ) . Sugestão: Veja o Problema 26
Prove que λ=0 será um autovalor de A se, e somente se, A for singular.
Mostreque, se λ 1 eλ 2 são autovalores de uma matriz A qualquer e se λ 1 ≠ λ 2 , então os autovetores correspondentes x 1 e x 2 são linearmente independentes. Sugestão: Comece com c 1 x ( 1 ) + c 2 x
Sejam x 1 = e t t e t x 2 = 1 t Mostre que x 1 e x 2 são linearmente dependentes em cada ponto do intervalo 0 ≤ t ≤ 1 . Apesar disso, mostre que x 1 e x 2 são linearmente independentes em 0 ≤ t ≤ 1 .
Mostreque, se λ 1 e λ 2 são autovalores de uma matriz A autoadjunta e se λ 2 ≠ λ 1 , então os autovetores correspondentes x 1 e x 2 são ortogonais.Sugestão: Use os resultados dos Problemas 26(c) e 32