Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Capítulo 7.3 - Ex. 1

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Em cada um dos problemas de 1 a 6, resolva o sistema de equações dado ou mostre que não tem solução.

1.

x 1                       - x 3 = 0 3 x 1   + x 2 + x 3 = 1 - x 1 + x 2 + 2 x 3 = 2

Passo 1

Fala galera!!

Nos foi dado o seguinte sistema de equações:

x 1                       - x 3 = 0 3 x 1   + x 2 + x 3 = 1 - x 1 + x 2 + 2 x 3 = 2

Nosso objetivo é determinar se o sistema de equações tem uma solução ou não.

Passo 2

Para resolves essa questão, podemos escrever o sistema de equações na forma de matriz. Assim temos:

1 0 - 1 3 1 1 - 1 1 2 x 1 x 2 x 3 = 0 1 2

Podemos escrever a matriz aumentada para o sistema da seguinte maneira:

1 0 - 1 3 1 1 - 1 1 2 0 1 2

Passo 3

Agora, vamos usar as operações de linha para tornar a matriz mais simples de resolver. Assim temos:

1 0 - 1 3 1 1 - 1 1 2 0 1 2 L 2 → L 2 - 3 L 1 L 3 → L 3 + L 1 = 1 0 - 1 0 1 4 0 1 1 0 1 2

1 0 - 1 0 1 4 0 1 1 0 1 2 L 3 → L 3 - L 2 = 1 0 - 1 0 1 4 0 0 - 3 0 1 1

Passo 4

A matriz aumentada obtida onde é:

1 0 - 1 0 1 4 0 0 - 3 0 1 1

O sistema de equações na forma de matriz é o seguinte:

1 0 - 1 0 1 4 0 0 - 3 x 1 x 2 x 3 = 0 1 1

O sistema de equações correspondente é:

x 1 - x 3 = 0 x 2 + 4 x 3 = 1 - 3 x 3 = 1

Passo 5

Da terceira equação, temos que:

- 3 x 3 = 1

x 3 = - 1 3

Substituindo x 3 na segunda equação, temos:

x 2 + 4 x 3 = 1

x 2 + 4 - 1 3 = 1

x 2 = 7 3

Substituindo x 3 na primeira equação, temos:

x 1 - x 3 = 0

x 1 - - 1 3 = 0

x 1 = - 1 3

Portanto, a solução do sistema de equações dado é  x 1 = - 1 3 ,   x 2 = 7 3 ,   x 3 = - 1 3 .

Resposta

x 1 = - 1 3 ,   x 2 = 7 3 ,   x 3 = - 1 3

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