Enunciado

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Em cada um dos problemas de 7 a 11, determine se os elementos do conjunto de vetores dados são linearmente independentes. Se forem linearmente dependentes, encontre uma relação linear entre eles. Os vetores estão escritos na forma de linhas para economizar espaço, mas podem ser considerados como vetores colunas, ou seja, podem ser usadas as transpostas dos vetores dados, em vez dos vetores.

10.

x 1 = 1 ,   2 ,   - 1 ,   0 ,       x 2 = 2 ,   3 ,   1 ,   - 1 ,       x 3 = - 1 ,   0 ,   2 ,   2 ,       x 4 = 3 ,   - 1 ,   1 ,   3

Passo 1

Fala galera!!

Nessa questão, nosso objetivo é verificar se os seguintes vetores

x 1 = 1 2 - 1 0 ,         x 2 = 2 3 1 - 1 ,         x 3 = - 1 0 2 2 ,         x 4 = 3 - 1 1 3

são linearmente independentes ou dependentes.

Diz-se que o conjunto de vetores é linearmente dependente se existir constantes  C 1 ,   C 2 , … , C k diferentes de zeros, de modo que C 1 x 1 + C 2 x 2 + … + C k x k = 0 .

Passo 2

Para resolver essa questão, vamos considerar a seguinte relação para constantes arbitrarias C 1 , C 2 , C 3 e C 4 .

C 1 x 1 + C 2 x 2 + C 3 x 3 + C 4 x 4 = 0

Ou seja:

C 1 1 2 - 1 0 + C 2 2 3 1 - 1 + C 3 - 1 0 2 2 + C 4 3 - 1 1 3 = 0

Podemos escrever a equação acima da seguinte maneira:

1 2 - 1 0 2 3 1 - 1 - 1 0 2 2 3 - 1 1 3 C 1 C 2 C 3 C 4 = 0 0 0 0

Passo 3

Podemos escrever a matriz aumentada para o sistema acima da seguinte maneira:

1 2 - 1 0 2 3 1 - 1 - 1 0 2 2 3 - 1 1 3 0 0 0 0

Agora, vamos aplicar operações elementares de linha na matriz acima. Assim temos:

1 2 - 1 0 2 3 1 - 1 - 1 0 2 2 3 - 1 1 3 0 0 0 0 L 2 → L 2 - 2 L 1 L 3 → L 3 + L 1 1 0 0 0 2 - 1 3 - 1 - 1 2 1 2 3 - 7 4 3 0 0 0 0

1 0 0 0 2 - 1 3 - 1 - 1 2 1 2 3 - 7 4 3 0 0 0 0 L 3 → L 3 + 3 L 2 L 4 → L 4 - L 2 1 0 0 0 2 - 1 0 0 - 1 2 7 0 3 - 7 - 17 10 0 0 0 0

Passo 4

A matriz aumentada obtida onde é:

1 0 0 0 2 - 1 0 0 - 1 2 7 0 3 - 7 - 17 10 0 0 0 0

O sistema de equações na forma de matriz é o seguinte:

1 0 0 0 2 - 1 0 0 - 1 2 7 0 3 - 7 - 17 10 C 1 C 2 C 3 C 4 = 0 0 0 0

O sistema de equações correspondente é:

C 1 + 2 C 2 - C 3 + 3 C 4 = 0 - C 2 + 2 C 3 - 7 C 4 = 0 7 C 3 - 17 C 4 = 0 10 C 4 = 0

Passo 5

Da quarta equação, temos que:

10 C 4 = 0

C 4 = 0

Substituindo C 4 na terceira equação, temos:

7 C 3 - 17 C 4 = 0

7 C 3 - 17 0 = 0

C 3 = 0

Substituindo C 4 e C 3 na segunda equação, temos:

- C 2 + 2 C 3 - 7 C 4 = 0

- C 2 + 2 0 - 7 0 = 0

C 2 = 0

Substituindo C 4 , C 3 e C 2 na primeira equação, temos:

C 1 + 2 C 2 - C 3 + 3 C 4 = 0

C 1 + 2 0 - 0 + 3 0 = 0

C 1 = 0

Portanto, o sistema só tem solução quando  C 1 = C 2 = C 3 = C 4 = 0 .

Pela definição, os vetores  x 1 ,   x 2 , x 3 e x 4 formam um conjunto de vetores linearmente independente.

Resposta

Linearmente independente

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