Enunciado

Verifique que y = c x é uma solução para a equação diferencial x y ' = y para todo valor do parâmetro c . Encontre pelo menos duas soluções para o problema de valor inicial

x y ' = y ,   y 0 = 0

Observe que a função definida por partes

y = 0 ,   x < 0 x ,   x ≥ 0

Satisfaz a condição y 0 = 0 . Ela é uma solução para o problema de valor inicial?

Passo 1

Vamos começar verificando que y = c x é solução para x y ' = y

Se tivermos y = c x , temos:

y ' = c

Substituindo em x y ' = y :

x . c = c . x

c x = c x

Que é uma igualdade verdadeira para todo valor de c .

Então, realmente y = c x é solução da nossa EDO ;P

Passo 2

Agora vamos encontrar duas soluções para x y ' = y ,   y 0 = 0

Como ele fala que y 0 = 0 , vamos testar a solução y = 0 :

x . 0 ' = 0

0 = 0

Aeee, a igualdade é verdadeira, então já encontramos uma solução: y = 0

Outra solução é aquela do passo 1: y = c . x

Porque para qualquer valor de c , temos que y 0 = c . 0 = 0

Então vamos escolher c = 2 , por exemplo: y = 2 x é uma outra solução do problema de valor inicial.

Passo 3

A função

y = 0 ,   x < 0 x ,   x ≥ 0

Não é solução, pois não é derivável em x = 0

Resposta

y = 0     e     y = 2 x

A função definida por partes não é solução, pois não é derivável em x = 0 .

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