Enunciado

Verifique que y = c x é uma solução para a equação diferencial x y ' = y para todo valor do parâmetro c . Encontre pelo menos duas soluções para o problema de valor inicial

x y ' = y ,   y 0 = 0

Observe que a função definida por partes

y = 0 ,   x < 0 x ,   x ≥ 0

Satisfaz a condição y 0 = 0 . Ela é uma solução para o problema de valor inicial?

Passo 1

Vamos começar verificando que y = c x é solução para x y ' = y

Se tivermos y = c x , temos:

y ' = c

Substituindo em x y ' = y :

x . c = c . x

c x = c x

Que é uma igualdade verdadeira para todo valor de c .

Então, realmente y = c x é solução da nossa EDO ;P

Passo 2

Agora vamos encontrar duas soluções para x y ' = y ,   y 0 = 0

Como ele fala que y 0 = 0 , vamos testar a solução y = 0 :

x . 0 ' = 0

0 = 0

Aeee, a igualdade é verdadeira, então já encontramos uma solução: y = 0

Outra solução é aquela do passo 1: y = c . x

Porque para qualquer valor de c , temos que y 0 = c . 0 = 0

Então vamos escolher c = 2 , por exemplo: y = 2 x é uma outra solução do problema de valor inicial.

Passo 3

A função

y = 0 ,   x < 0 x ,   x ≥ 0

Não é solução, pois não é derivável em x = 0

Resposta

y = 0     e     y = 2 x

A função definida por partes não é solução, pois não é derivável em x = 0 .

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes). x d 2 y d x 2 + 2 d y d x = 0 ;       y = c 1 + c 2 x - 1
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes). x 2 y ' ' - x y ' + 2 y = 0 ;     y = x cos ⁡ ln ⁡ x ,     ...
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes). y ' ' + y ' - 12 y = 0 ;     y = c 1 e 3 x + c 2 e - 4 x
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes). y ' ' - 6 y ' + 13 y = 0 ;     y = e 3 x cos ⁡ 2 x
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes). d y d x - 2 y = e 3 x ;     y = e 3 x + 10 e 2 x
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes). y ' + y = sen ⁡ x ;     y = 1 2 sen ⁡ x - 1 2 cos ⁡ x + 10 ...
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes). y = 2 x y ' + y y ' 2 ;     y 2 = c 1 x + 1 4 c 1
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes). d y d x = y x ;       y = x + c 1 2 ,   x > 0 ,   c 1 &g...
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes). y ' + 4 y = 32 ;   y = 8
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes). y ' = 25 + y 2 ;     y = 5 tg ⁡ 5 x
Verifique se a função definida por partes é uma solução para a equação diferencial dada: y ' 2 = 9 x y ;       y = 0 ,     s e     x < 0   x 3 ,                   s e   x ≥ 0
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes). 2 x y   d x + x 2 + 2 y d y = 0 ;     x 2 y + y 2 = c 1