Enunciado

Nos problemas 17-20, verifique se o Teorema 2.1 garante unicidade de solução para a equação diferencial y ' = y 2 - 9 , passando pelo ponto dado.

( 2 , - 3 )

Passo 1

Aqui vamos usar o teorema 2.1 do seu livro, belezinha?

Então vamos lá, temos que determinar uma região no plano x y no qual a equação d y d x = y 2 - 9

tem solução única passando por um ponto x 0 , y 0

Seguindo o teorema 2.1, vamos chamar

f x , y = y 2 - 9

E, nesse caso, usando a regra da cadeia:

∂ f ∂ y = 2 y . 1 2 y 2 - 9

∂ f ∂ y = y y 2 - 9

Que não está definida para os valores de y que fazem y 2 - 9 ≤ 0 , pois não podemos ter raíz negativa e nem o denominador igual a 0, certo?

Então:

y 2 - 9 ≤ 0

y 2 ≤ 9

- 3 ≤ y ≤ 3

A equação diferencial não está definida para valores de y entre - 3 e 3

Então, pelo teorema 2.1, temos que a equação diferencial d y d x = y 2 - 9

Vai ter solução única em regiões onde y < - 3 e y > 3

Agora vamos aplicar isso no nosso exercício!

Passo 2

Queremos saber se a equação diferencial d y d x = y 2 - 9 tem solução única passando pelo ponto ( 2 , - 3 )

Vimos no passo 1 que essa equação vai ter solução única em regiões onde y < - 3 e y > 3

Como no ponto ( 2 , - 3 ) temos y = - 3 , então ela não tem solução única passando por esse ponto, sacou?

Resposta

N ã o   t e m   s o l u ç ã o   ú n i c a   p a s s a n d o   p o r   ( 2 , - 3 )

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Nos problemas 47 e 48, encontre valores de m para que y = e m x seja uma solução para cada equação diferencial. y ' ' + 10 y ' + 25 y = 0
Verifique que uma família a um parâmetro de soluções para y = x y ' + 1 + y ' 2éy = c x + 1 + c 2 é Mostre que a relação x 2 + y 2 = 1 define uma solução singular para a equação no intervalo ( - 1,1 )
Verifique se a função definida por partes é uma solução para a equação diferencial dada: y ' 2 = 9 x y ;y = 0 , s e x0x 3 ,s ex ≥ 0
Uma família a um parâmetro de soluções para y ' = y 2 - 1 é y = 1 + c e 2 x 1 - c e 2 x é Por inspeção, determine uma solução singular para a equação diferencial.