Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 6, um sistema autônomo está expresso em coordenadas polares. Determine todas as soluções periódicas, todos os ciclos limites e suas características de estabilidade.

d r d t = s e n ( π r ) ,     d θ d t = - 1

Passo 1

Beleza! Vamos começar encontrando os pontos críticos da equação dada, então, temos:

d r d t = s e n ( π r ) = 0

Essa equação será igual a zero quando:

r = n ,   n = 0 ,   1 ,   2 ,   …

Passo 2

Então, agora, analisando o sinal dos pontos críticos, lembrando do círculo trigonométrico, onde temos o seno positivo de 0 até 180° e negativo de 180° até 360°. Dessa forma, quando tivermos r = 2 k , onde k = 1 ,   2 ,   3 ,   … , então, teremos pontos críticos instáveis. Esses pontos possuem ciclos limite da forma:

r = 2 k ; d θ d t = - 1 → θ = - t + t 0

E, consequentemente, esse ciclo limite será instável.

Passo 3

Agora, quando tivermos r = 2 k + 1 com k = 0 ,   1 ,   2 ,   … então teremos pontos críticos estáveis, então os ciclos limites serão:

r = 2 k + 1 ; d θ d t = - 1 → θ = - t + t 0

Que também serão ciclos limites estáveis.

Resposta

r 1 = 0   i n s t á v e l

r 2 = 2 k   ( i n s t á v e l )

r 3 = 2 k + 1   ( e s t á v e l )

r = 2 k ;   θ = - t + t 0   ( i n t á v e l )

r = 2 k + 1 ; θ = - t + t 0   e s t á v e l

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

15. A equação u ' ' - μ 1 - 1 3 u ' 2 u ' + u = 0 é chamada, muitas vezes, de equação de Rayleigh.(a) Escreva a equação de Rayleigh como um sistema de duas equações de primeira ordem.(b) Mostre que a
21. O sistema x ' = 3 x + y - 1 3 x 3 - k , y ' = - 1 3 x + 0,8 y - 0,7 é um caso particular das equações de Fitzhugh-Nagumo, 15 que modelam a transmissão de impulsos neurais ao longo de um axônio. O
1.(a) Mostre que os autovalores do sistema linear (8), válidos perto da origem, são dados pela Eq. (10).(b) Determine os autovetores associados.(c) Determine os autovalores e autovetores do sistema (8
7. Para r=28 , faça as projeções nos planos xy e xz, respectivamente, da trajetória que começa no ponto ( 5 ,5 ,5 ) . Os gráficos são iguais aos das Figuras 9.8.5 e 9.8.6?
2. (a) Mostre que a aproximação linear válida perto do ponto crítico P 2 é dada pela Eq. (11).(b) Mostre que os autovalores do sistema (11) satisfazem a Eq. (12).(c) Para r=28 , resolva a Eq. (12) e d