Enunciado

2.

(a) Mostre que a aproximação linear válida perto do ponto crítico P 2 é dada pela Eq. (11).

(b) Mostre que os autovalores do sistema (11) satisfazem a Eq. (12).

(c) Para r   =   28 , resolva a Eq. (12) e determine, assim, os autovalores do sistema (11).

Passo 1

L e t r a   A :

Poxa, do próprio capítulo, sabemos que a matriz Jacobiana desse problema de terceira ordem é:

J = - σ σ 0 r - z - 1 - x y x - b

Vimos ainda que o nosso querido Boyce já nos deu os pontos críticos. Em especial o ponto P 2 :

P 2 = 8 r - 1 / 3 ,   8 r - 1 / 3 ,   r - 1

Então, o Jacobiano no ponto P 2 é dado por...

J P 2 = - σ σ 0 r - r + 1 - 1 - 8 r - 1 / 3 8 r - 1 / 3 8 r - 1 / 3 - b

Agora, os valores de σ e b que estamos trabalhando durante a teoria de todo o capítulo, são os valore típicos σ = 10 e b = 8 / 3 , de onde tiramos que...

J P 2 = - 10 10 0 1 - 1 - 8 r - 1 / 3 8 r - 1 / 3 8 r - 1 / 3 - 8 3

Considerando então o sistema linear nas variáveis originais x , y e z como nos capítulos anteriores, podemos falar que tal aproximação é:

x y z ' = J P 2 x - 8 r - 1 / 3 y - 8 r - 1 / 3 z - r - 1

O que o Boyce fez então foi realizar uma mudança de variáveis tal que:

u v w = x - 8 r - 1 / 3 y - 8 r - 1 / 3 z - r - 1

Daí u , v e w , serem perturbações do ponto P 2 , saca? Concluímos então que de fato o sistema linear de aproximação é:

u v w ' = - 10 10 0 1 - 1 - 8 r - 1 3 8 r - 1 3 8 r - 1 3 - 8 3 u v w

Passo 2

L e t r a   B :

Os autovalores são determinados daquela matriz grandona de acordo com a nossa querida álgebra:

det ⁡ A - λ I = 0

O que como já fizemos muitas vezes, basta remover λ da diagonal principal:

det ⁡ - 10 - λ 10 0 1 - 1 - λ - 8 r - 1 3 8 r - 1 3 8 r - 1 3 - 8 3 - λ = 0

Calculando o determinante dessa matriz 3x3:

- 10 - λ - 1 - λ - 8 3 - λ - 10 8 r - 1 3 - 10 - 8 3 - λ + - 10 - λ 8 r - 1 3 = 0

Multiplicando todo mundo por 3 e dividindo por 8 :

- 10 - λ - 1 - λ - 1 - 3 8 λ - 10 r - 1 - 10 - 1 - 3 8 λ + - 10 - λ r - 1 = 0

Resolvendo primeiro essa parte em negrito por ser mais fácil:

- 10 - λ - 1 - λ - 1 - 3 8 λ - 10 r + 10 + 1 0 + 30 8 λ + - 10 r + 10 - λ r + λ = 0

Juntando as partes semelhantes...

- 10 - λ - 1 - λ - 1 - 3 8 λ + 30 8 - r + 1 λ - 20 r + 30 = 0

SHOW! Agora vamos resolver esse outro termo em negrito:

10 + 10 λ + λ + λ 2 - 1 - 3 8 λ + 30 8 - r + 1 λ - 20 r + 30 = 0 →

10 + 11 λ + λ 2 - 1 - 3 8 λ + 30 8 - r + 1 λ - 20 r + 30 = 0 →

- 10 - 30 8 λ - 11 λ - 33 8 λ 2 - λ 2 - 3 8 λ 3 + 30 8 - r + 1 λ - 20 r + 30 = 0 →

Novamente simplificando...

- 10 - 11 λ - 41 8 λ 2 - 3 8 λ 3 + - r + 1 λ - 20 r + 30 = 0 →

- 3 8 λ 3 - 41 8 λ 2 + - r - 10 λ - 20 r + 20 = 0 →

Multiplicando todo mundo por - 8 ...

3 λ 3 + 41 λ 2 + 8 r + 10 λ + 160 r - 160 = 0 →

3 λ 3 + 41 λ 2 + 8 r + 10 λ + 160 r - 1 = 0

Passo 3

L e t r a   C :

Para o r = 28 ...

3 λ 3 + 41 λ 2 + 8 28 + 10 λ + 160 ⋅ 27 = 0   →

3 λ 3 + 41 λ 2 + 304 λ + 7320 = 0  

Bem, eu não sei você, mas eu não consigo resolver essa equação cúbica na mão não! Como o problema nos permite usar uma ferramenta computacional... Aqui vamos nós, utilizar o WOLFRAMALPHA para resolvê-la!

Jogando então essa equação lá no Wolfram, obteremos...

λ = - 19,493

E além disso, dois resultados complexos:

λ = 1,4131 ± 12,0808   i

Esses são então as respostas dos nossos Autovalores .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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