1.

Determine os pontos críticos e o retrato de fase, indicando qual tipo de ponto é o ponto crítico, no sistema abaixo.

x ' = x 2 - y 2 - 2 y ' = x + 3 y

Resolução
2.

Considere o sistema abaixo que representa o comportamento de duas espécies( com densidades populacionais x t e y ( t ) ).

E

d x d t = x 0,5 - 1,5 y

d y d t = y ( - 1,5 + x )

a) Determine as singularidades e classifique-as.

b) Esboce as trajetórias do sistema no primeiro quadrante.

c) Suponha que as populações iniciais em um laboratório sejam x 0 = 10 e y 0 = 1 . Interprete a evolução da população no tempo t .

Resolução
3.

Considere o problema abaixo que representa o comportamento de duas espécies (com densidades populacionais x ( t ) e y ( t ) ) competindo por suprimentos comuns.

d x d t = x 1 - x + 0,5 y

d y d t = y 2,5 - 1,5 y + 0,25 x

  1. Determine as singularidades e classifique-as.
  2. Esboçe as trajetórias do retrato de fase no primeiro quadrante.
  3. Para quais condições iniciais existe uma configuração de equilíbrio na qual nenhuma espécie desaparece, e qual é esta configuração?
Resolução
4.

Considere o sistema abaixo que representa o comportamento de duas espécies( com densidades populacionais x t e y ( t ) ).

E

d x d t = x 0,5 - 1,5 y

d y d t = y ( - 1,5 + x )

a) Determine as singularidades e classifique-as.

b) Esboce as trajetórias do sistema no primeiro quadrante.

c) Suponha que as populações iniciais em um laboratório sejam x 0 = 10 e y 0 = 1 . Interprete a evolução da população no tempo t .

Resolução
5.

Considere o seguinte modelo que pode ser interpretado como a interação entre duas espécies.

d x d t = x - 0,5 x y

d y d t = - 0,5 y + x y

  1. Ache as singularidades do sistema e classifique-as
  2. Esboce o retato de fase do sistema
  3. Quais são as trajetórias que tem limite quando t tende a + ∞ e que configurações representam no modelo?
Resolução
6.

Considere o sistema no plano definido por:

F x , y = y - x 2 , y - x - 2

  1. Determine as singularidades do sistema.
  2. Esboce as trajetórias em uma vizinhança de cada singularidade.
Resolução
7.

Considere o problema abaixo que representa o comportamento de duas espécies(com densidades populacionais x ( t ) e   y ( t ) ).

d x d t = x 1 , 5 - 0,5 y

d y d t = y - 0,5 + x

  1. Determine as singularidades e classifique-as.
  2. Suponha que as populações iniciais em um laboratório sejam x 0 = 2 e y 0 = 4 . Interprete a evolução das populações no tempo t .
Resolução
8.

Considere o problema abaixo que representa o comportamento de duas espécies(com densidades populacionais x ( t ) e   y ( t ) ) competindo por suprimentos comuns.

d x d t = x 1 - x - y

d y d t = y 1,5 - y - x

  1. Determine as singularidades e classifique-as.
  2. Esboce as trajetórias em uma vizinhança de cada singularidade no primeiro quadrante.
  3. Para quais condições iniciais existe uma configuração de equilíbrio na qual nenhuma espécie desaparece, e qual é esta configuração?
Resolução
9.

Considere o problema abaixo que representa o comportamento de duas espécies (com densidades populacionais x ( t ) e y ( t ) ) competindo por suprimentos comuns.

d x d t = x 1 - x + 0,5 y

d y d t = y 2,5 - 1,5 y + 0,25 x

  1. Determine as singularidades e classifique-as.
  2. Esboçe as trajetórias do retrato de fase no primeiro quadrante.
  3. Para quais condições iniciais existe uma configuração de equilíbrio na qual nenhuma espécie desaparece, e qual é esta configuração?
Resolução

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