Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 6, use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.

6.

y 4 + 2 y ' ' + y = sen ⁡ t

Passo 1

Peguemos a equação ordinária dada no problema:

y 4 + 2 y ' ' + y = sen ⁡ t

Pensando nela, vamos encontrar nossa equação característica, que terá o seguinte formato:

p r = r 4 + 2 r 2 + 1 = 0

Vamos chamar: r 4 = x 2 e r 2 = x

Assim teremos:

x 2 + 2 x + 1 = 0

∆ = 0

x ' e   x ' ' = - 2 2 = - 1

Devemos relacionar a raiz da equação em x com a equação: r 2 = x

Para x ' = - 1 , teremos:

r 2 = - 1

r = ± i  

Note que temos x ' ' = - 1 (O mesmo número já calculado em cima para x ' ), assim é só lembrar de repetir os valores de r.

Dessa forma, teremos as seguintes raízes:

r 1 = i

r 2 = - i

r 3 = i

r 4 = - i

Passo 2

Agora observem que como a equação ordinária dada no exercício, não está igualada a zero, temos um exemplo de EDO não homogênea. Então como temos quatro raízes complexas, teremos a seguinte homogênea associada:

y t = C 1 cos ⁡ t + C 2 sen ⁡ t + t ( C 3 cos ⁡ t + C 4 sen ⁡ t )

Passo 3

Agora precisamos encontrar a nossa solução particular utilizando o método de variação dos parâmetros.

Dicazinha:É possível montar a solução particular, apenas trocando as constantes C n da homogênea associada, por outros parâmetros, aqui escolhi u n .

Y p = u 1 cos ⁡ t + u 2 sen ⁡ t + t u 3 cos ⁡ t + u 4 sen ⁡ t         ( S o l u ç ã o   p a r t i c u l a r )

Repare que agora, precisamos de descobrir os valores de u 1 ,   u 2 ,   u 3   e   u 4   p a r a   i n s e r i r   n a   s o l u ç ã o   p a r t i c u l a r

Para isso, necessitamos do sistema de matrizes genérico:

y 1 u 1 ' + y 2 u 2 ' + … + y n u n ' = 0

y 1 ' u 1 ' + y 2 ' u 2 ' + … + y n ' u n ' = 0

y 1 ' ' u 1 ' + y 2 ' ' u 2 ' + … + y n ' ' u n ' = 0

y 1 n - 1 u 1 ' + … + y n n - 1 u n ' = g

Porém pela regra de Cramer, esse sistema pode ser convertido para seguinte expressão:

u m ' t = g t W m t W t         e m   q u e   m = 1,2 , … , n

Aqui g(t) é a função da equação ordinária depois da igualdade (Aquela trazida lá no começo do problema!), correspondendo então, ao seguinte valor:

g t = sen ⁡ t

W t = W y 1 , y 2 , … , y n t e   W m é   o   d e t e r m i n a n t e   o b t i d o   d e   W   s u b s t i t u i n d o   a   m - é s i m a   c o l u n a   p e l a   c o l u n a   ( 0,0 , … , 0,1 )

Calma que eu já te explico, vem comigo!

Passo 4

Vamos calcular primeiramente o determinante de W(t)

Lembram da nossa solução particular? De lá temos:

y 1 = cos ⁡ t ,   y 2 = sen ⁡ t   e   y 3 = t cos ⁡ t   e   y 4 = t sen ⁡ t  

Q u e   s ã o   a s   f u n ç õ e s   q u e   a c o m p a n h a m   u 1 ,   u 2 ,   u 3   e   u 4   s a c o u ?

Bora lá então e vamos inserir tudo isso na primeira linha, para derivarmos na sequência! ( D e r i v a r   a t é   y 1 ' ' ' ,   y 2 ' ' ' ,   y 3 ' ' '   e   y 4 ' ' '   ) . Isso porque temos 4 termos, n=4 e sempre diminuímos uma unidade desse valor, o que resulta em 3, assim precisaremos ir até a derivada de terceira ordem.

W cos ⁡ t , sen ⁡ t , t cos ⁡ t ,   t sen ⁡ t = cos ⁡ t sen ⁡ t t cos ⁡ t t sen ⁡ t - sen ⁡ t cos ⁡ t cos ⁡ t - t sen ⁡ t sen ⁡ t + t cos ⁡ t - cos ⁡ t - sen ⁡ t - 2 sen ⁡ t - t cos ⁡ t 2 cos ⁡ t - t sen ⁡ t sen ⁡ t - cos ⁡ t - 3 cos ⁡ t + t sen ⁡ t - 3 sen ⁡ t - t cos ⁡ t = 4

Agora precisamos descobrir o determinante de W 1 ,   W 2 ,   W 3   e   W 4 :

W 1 t = 0 sen ⁡ t t cos ⁡ t t sen ⁡ t 0 cos ⁡ t cos ⁡ t - t sen ⁡ t sen ⁡ t + t cos ⁡ t 0 - sen ⁡ t - 2 sen ⁡ t - t cos ⁡ t 2 cos ⁡ t - t sen ⁡ t 1 - cos ⁡ t - 3 cos ⁡ t + t sen ⁡ t - 3 sen ⁡ t - t cos ⁡ t = - 2 sen ⁡ t + 2 t cos ⁡ t  

W 2 t = cos ⁡ t 0 t cos ⁡ t t sen ⁡ t - sen ⁡ t 0 cos ⁡ t - t sen ⁡ t sen ⁡ t + t cos ⁡ t - cos ⁡ t 0 - 2 sen ⁡ t - t cos ⁡ t 2 cos ⁡ t - t sen ⁡ t sen ⁡ t 1 - 3 cos ⁡ t + t sen ⁡ t - 3 sen ⁡ t - t cos ⁡ t = 2 t sen ⁡ t + 2 cos ⁡ t

W 3 t = cos ⁡ t sen ⁡ t 0 t sen ⁡ t - sen ⁡ t cos ⁡ t 0 sen ⁡ t + t cos ⁡ t - cos ⁡ t - sen ⁡ t 0 2 cos ⁡ t - t sen ⁡ t sen ⁡ t - cos ⁡ t 1 - 3 sen ⁡ t - t cos ⁡ t =   - 2 cos ⁡ t

W 4 t =   cos ⁡ t sen ⁡ t t cos ⁡ t 0 - sen ⁡ t cos ⁡ t cos ⁡ t - t sen ⁡ t 0 - cos ⁡ t - sen ⁡ t - 2 sen ⁡ t - t cos ⁡ t 0 sen ⁡ t - cos ⁡ t - 3 cos ⁡ t + t sen ⁡ t 1 = - 2 sen ⁡ t

Repare que a única diferença para o cálculo de cada um desses determinantes, foi a posição da coluna (0,0,0,1).

Já que possuímos tudo que precisamos, vamos encontrar u 1 ' ,   u 2 ' ,   u 3 '   e   u 4 '

u 1 ' t = g t W 1 t W t = sen ⁡ t ( - 2 sen ⁡ t + 2 t cos ⁡ t ) 4 = - sen 2 ⁡ t + t sen ⁡ t cos ⁡ t 2

u 2 ' t = g t W 2 t W t = sen ⁡ t ( 2 t sen ⁡ t + 2 cos ⁡ t ) 4 = t sen 2 ⁡ t + sen ⁡ t cos ⁡ t 2

u 3 ' t = g t W 3 t W t = sen ⁡ t ( - 2 cos ⁡ t ) 4 = - sen ⁡ t cos ⁡ t 2

u 4 ' t = g t W 4 t W t = sen ⁡ t ( - 2 sen ⁡ t ) 4 = - sen 2 ⁡ t 2

Passo 5

Vamos resolver as integrais de u 1 ' ,   u 2 ' ,   u 3 '   e   u 4 ' do passo anterior, encontrando assim: u 1 ,   u 2 ,   u 3   e   u 4 .

u 1 = 1 2 ∫ t 0 t - sen 2 ⁡ s + s sen ⁡ s cos ⁡ s d s = - 4 t - 2 t cos ⁡ 2 t + 3 sen ⁡ 2 t 16

= - 4 t - 2 t cos 2 ⁡ t - sen 2 ⁡ t + 6 sen ⁡ t cos ⁡ t 16

= - 4 t - 2 t   c o s 2 t + 2 t 1 - cos 2 ⁡ t + 6 sen ⁡ t cos ⁡ t 16

= - 4 t - 2 t cos 2 ⁡ t + 2 t - 2 t cos 2 ⁡ t + 6 sen ⁡ t cos ⁡ t 16

= - 2 t - 4 t   c o s 2 t + 6 sen ⁡ t cos ⁡ t 16

= 2 - t - 2 t   c o s 2 t + 3 sen ⁡ t cos ⁡ t 16

= - t - 2 t cos 2 ⁡ t + 3 sen ⁡ t cos ⁡ t 8

u 2 = 1 2 ∫ t 0 t s sen 2 ⁡ s + sen ⁡ s cos ⁡ s   d s = sen 2 ⁡ t - 2 cos 2 ⁡ t - 2 t sen ⁡ t cos ⁡ t + t 2 8  

u 3 = - 1 2 ∫ t 0 t sen ⁡ s cos ⁡ s   d s =   - sen 2 ⁡ t 4

u 4 = - 1 2 ∫ t 0 t sen 2 ⁡ s   d s = - 1 4 t - sen ⁡ 2 t 2 = - 1 4 2 t - 2 cos ⁡ t sen ⁡ t 2 = - t + cos ⁡ t sen ⁡ t 4

Passo 6

Chegamos ao último passo! Agora podemos escrever a nossa solução particular, trocando u 1 ,   u 2 ,   u 3   e   u 4 , pelos respectivos valores encontrados no passo anterior. Assim teremos:

Y p = 3 sen ⁡ t cos ⁡ t - 2 t cos 2 ⁡ t - t 8 cos ⁡ t + sen 2 ⁡ t - 2 cos 2 ⁡ t - 2 t sen ⁡ t cos ⁡ t + t 2 8 sen ⁡ t + t - sen 2 ⁡ t 4 cos ⁡ t + cos ⁡ t sen ⁡ t - t 4 sen ⁡ t        

Y p = 3 sen ⁡ t cos 2 ⁡ t - 2 t cos 3 ⁡ t - t cos ⁡ t + sen 3 ⁡ t - 2 cos 2 ⁡ t sen ⁡ t - 2 t sen 2 ⁡ t cos ⁡ t + t 2 sen ⁡ t 8 - t 2 sen ⁡ t 4

Y p = - t cos ⁡ t + sen 3 ⁡ t + sen ⁡ t cos 2 ⁡ t - 2 t cos 3 ⁡ t - 2 t sen 2 ⁡ t cos ⁡ t - t 2 sen ⁡ t 8

Y p = - t cos ⁡ t + sen ⁡ t ( 1 - cos 2 ⁡ t ) + sen ⁡ t cos 2 ⁡ t - 2 t cos 3 ⁡ t - 2 t ( 1 - cos 2 ⁡ t ) cos ⁡ t - t 2 sen ⁡ t 8

Y p = - t cos ⁡ t + sen ⁡ t - sen ⁡ t cos 2 ⁡ t + sen ⁡ t cos 2 ⁡ t - 2 t cos 3 ⁡ t - 2 t cos ⁡ t + 2 t cos 3 ⁡ t - t 2 sen ⁡ t 8

Y p = - t cos ⁡ t + sen ⁡ t - 2 cos ⁡ t - t 2 sen ⁡ t 8

Y p = - 3 t cos ⁡ t + sen ⁡ t - t 2 sen ⁡ t 8

Passo 7

Portanto temos os dados necessários, para escrever a solução geral da equação diferencial que nos foi pedida. Esta será dada pela soma da homogênea associada com a solução particular encontrada. Dessa forma, teremos:

y t = C 1 cos ⁡ t + C 2 sen ⁡ t + t C 3 cos ⁡ t + C 4 sen ⁡ t - t 2 sen ⁡ t 8

Note que somente o último termo da solução particular não é uma solução da equação homogênea.

Resposta

y t = C 1 cos ⁡ t + C 2 sen ⁡ t + t C 3 cos ⁡ t + C 4 sen ⁡ t - t 2 sen ⁡ t 8

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