Enunciado

Em cada um dos problemas de 1 a 6, use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.

5.

y ' ' ' - y ' ' + y ' - y = e - t sen ⁡ t

Passo 1

Peguemos a equação ordinária dada no problema:

y ' ' ' - y ' ' + y ' - y = e - t sen ⁡ t

Pensando nela, vamos encontrar nossa equação característica, que terá o seguinte formato:

p r = r 3 - r 2 + r - 1 = 0

As possíveis raízes desse polinômio serão:

r = ± 1 ,   ( D i c a :   O l h e   p o r   q u a i s   n ú m e r o s   o   t e r m o   q u e   e s t á   n o   f i n a l   é   d i v i s í v e l )

Testando:

p - 1 = - 4   n ã o   é   r a i z

p 1 = 0   ( é   u m a   r a i z )

Fazendo a divisão de polinômio:

r 3 - r 2 + r - 1 r - 1 = r 2 + 1

Portanto:

r 2 + 1 = 0

r 2 = - 1

r = ± i

Assim, teremos as seguintes raízes:

r 1 = 1

r 2 = i

r 3 = - i

Passo 2

Agora observem que como a equação ordinária dada no exercício, não está igualada a zero, temos um exemplo de EDO não homogênea. Então como temos uma raiz distinta e duas raízes complexas, teremos a seguinte homogênea associada:

y t = C 1 e t + C 2 cos ⁡ t + C 3 sen ⁡ t

Passo 3

Agora precisamos encontrar a nossa solução particular utilizando o método de variação dos parâmetros.

Dicazinha:É possível montar a solução particular, apenas trocando as constantes C n da homogênea associada, por outros parâmetros. Aqui escolhi u n .

Y p = u 1 e t + u 2 cos ⁡ t + u 3 sen ⁡ t   ( S o l u ç ã o   p a r t i c u l a r )

Repare que agora, precisamos de descobrir os valores de u 1 ,   u 2   e   u 3   para inserir na solução particular

Para isso, necessitamos do sistema de matrizes genérico:

y 1 u 1 ' + y 2 u 2 ' + … + y n u n ' = 0

y 1 ' u 1 ' + y 2 ' u 2 ' + … + y n ' u n ' = 0

y 1 ' ' u 1 ' + y 2 ' ' u 2 ' + … + y n ' ' u n ' = 0

y 1 n - 1 u 1 ' + … + y n n - 1 u n ' = g

Porém pela regra de Cramer, esse sistema pode ser convertido para seguinte expressão:

u m ' t = g t W m t W t         e m   q u e   m = 1,2 , … , n

Aqui g ( t ) é a função da equação ordinária depois da igualdade (Aquela trazida lá no começo do problema!), correspondendo então, ao seguinte valor:

g t = e - t sen ⁡ t

W t = W y 1 , y 2 , … , y n t e W m é o determinante obtido de W substituindo a m-ésima coluna pela coluna ( 0,0 , … , 0,1 )

Calma que eu já te explico, vem comigo!

Vamos calcular primeiramente o determinante de W ( t )

Lembram da nossa solução particular? De lá temos:

y 1 = e t ,   y 2 = cos ⁡ t   e   y 3 = sen ⁡ t , que são as funções que acompanham u 1 ,   u 2 e   u 3 sacou?

Passo 4

Bora lá então e vamos inserir tudo isso na primeira linha, para derivarmos na sequência! ( D e r i v a r   a t é   y 1 ' ' ,   y 2 ' ' e   y 3 ' '   ) . Isso porque temos 3 termos, n=3 e sempre diminuímos uma unidade desse valor, o que resulta em 2, assim precisaremos ir até a derivada de segunda ordem.

W e t , cos ⁡ t , sen ⁡ t = e t cos ⁡ t sen ⁡ t e t - sen ⁡ t cos ⁡ t e t - cos ⁡ t - sen ⁡ t = 2 e t  

Agora precisamos descobrir o determinante de W 1 ,   W 2 e   W 3 :

W 1 t = 0 cos ⁡ t sen ⁡ t 0 - sen ⁡ t cos ⁡ t 1 - cos ⁡ t - sen ⁡ t = 1

W 2 t = e t 0 sen ⁡ t e t 0 cos ⁡ t e t 1 - sen ⁡ t = - e t cos ⁡ t + e t sen ⁡ t = e t ( sen ⁡ t - cos ⁡ t )  

W 3 t = e t cos ⁡ t 0 e t - sen ⁡ t 0 e t - cos ⁡ t 1 =   - e t cos ⁡ t - e t sen ⁡ t = - e t ( cos ⁡ t + sen ⁡ t )

Repare que a única diferença para o cálculo de cada um desses determinantes, foi a posição da coluna (0,0,1).

Já que possuímos tudo que precisamos, vamos encontrar u 1 ' ,   u 2 ' e   u 3 '

u 1 ' t = g t W 1 t W t = e - t sen ⁡ t 2 e t = 1 2 e - 2 t sen ⁡ t

u 2 ' t = g t W 2 t W t = e - t e t sen ⁡ t ( sen ⁡ t - cos ⁡ t ) 2 e t = 1 2 e - t ( sen 2 ⁡ t - sen ⁡ t cos ⁡ t )

u 3 ' t = g t W 3 t W t = - e - t sen ⁡ t e t ( cos ⁡ t + sen ⁡ t ) 2 e t = - 1 2 e - t ( sen ⁡ t cos ⁡ t + sen 2 ⁡ t )

Passo 5

Vamos resolver as integrais de u 1 ' ,   u 2 '   e   u 3 ' do passo anterior, encontrando assim: u 1 ,   u 2 e   u 3 .

u 1 = 1 2 ∫ e - 2 t sen ⁡ t d t

u 2 = 1 2 ∫ e - t ( sen 2 ⁡ t - sen ⁡ t cos ⁡ t ) d t

= 1 2 ∫ e - t ( 1 - cos 2 ⁡ t - sen ⁡ t cos ⁡ t ) d t

= 1 2 ∫ e - t ( 1 - cos ⁡ 2 t + 1 2 - sen ⁡ t cos ⁡ t ) d t

= 1 4 ∫ e - t ( 2 - cos ⁡ 2 t - 1 - 2 sen ⁡ t cos ⁡ t ) d t

= 1 4 ∫ e - t ( 1 - cos ⁡ 2 t - sen ⁡ 2 t ) d t

u 3 = - 1 2 ∫ e - t ( sen ⁡ t cos ⁡ t + sen 2 ⁡ t )   d t

= - 1 4 ∫ e - t ( 2 sen ⁡ t cos ⁡ t + 2 - 2 cos 2 ⁡ t ) d t

= - 1 4 ∫ e - t ( sen ⁡ 2 t + 2 - cos ⁡ 2 t - 1 ) d t

= - 1 4 ∫ e - t ( 1 - cos ⁡ 2 t + sen ⁡ 2 t ) d t

Passo 6

Vamos agora resolver as integrais um de cada vez, mas para isso, podemos usar o seguinte resultado:

∫ e a x sen ⁡ b x d x = e a x a 2 + b 2 a sen ⁡ b x - b cos ⁡ b x

∫ e a x cos ⁡ b x d x = e a x a 2 + b 2 a cos ⁡ b x - b sen ⁡ b x

Agora, podemos resolver as integrais. Uma dica importante é que a integral da soma é igual a soma das integrais.

u 1 = 1 2 ∫ e - 2 t sen ⁡ t d t = - e - 2 t 10 ( cos ⁡ t + 2 sen ⁡ t )

u 2 = 1 4 ∫ e - t ( 1 - cos ⁡ 2 t - sen ⁡ 2 t ) d t = - e - t 4 - e - t 20 sen ⁡ 2 t - 3 cos ⁡ 2 t

u 3 = - 1 4 ∫ e - t 1 - cos ⁡ 2 t + sen ⁡ 2 t d t = e - t 4 + e - t 20 3 sen ⁡ 2 t + cos ⁡ 2 t

Passo 7

Chegamos ao último passo! Agora podemos escrever a nossa solução particular, trocando u 1 ,   u 2   e   u 3 , pelos respectivos valores encontrados no passo anterior. Assim teremos:

Y p t = u 1 e t + u 2 cos ⁡ t + u 3 sen ⁡ t  

Y p t = e t - e - 2 t 10 ( cos ⁡ t + 2 sen ⁡ t ) + cos ⁡ t - e - t 4 - e - t 20 sen ⁡ 2 t - 3 cos ⁡ 2 t + sen ⁡ t e - t 4 + e - t 20 3 sen ⁡ 2 t + cos ⁡ 2 t

Y p t = e t - e - 2 t 10 ( cos ⁡ t + 2 sen ⁡ t ) + cos ⁡ t - e - t 4 - e - t 20 ( 2 sen ⁡ t cos ⁡ t ) - 3 cos 2 ⁡ t - sen 2 ⁡ t + sen ⁡ t e - t 4 + e - t 20 3 ( 2 sen ⁡ t cos ⁡ t ) + cos 2 ⁡ t - sen 2 ⁡ t

Y p t = - e - t 10 ( cos ⁡ t + 2 sen ⁡ t ) + - e - t cos ⁡ t 4 - e - t cos ⁡ t 20 ( 2 sen ⁡ t cos ⁡ t ) - 3 cos 2 ⁡ t - sen 2 ⁡ t + e - t sen ⁡ t 4 + e - t sen ⁡ t 20 3 ( 2 sen ⁡ t cos ⁡ t ) + cos 2 ⁡ t - sen 2 ⁡ t

Y p t = e - t - 1 10 cos ⁡ t + 2 sen ⁡ t + - cos ⁡ t 4 - cos ⁡ t 20 2 sen ⁡ t cos ⁡ t - 3 cos 2 ⁡ t - sen 2 ⁡ t + sen ⁡ t 4 + sen ⁡ t 20 3 2 sen ⁡ t cos ⁡ t + cos 2 ⁡ t - sen 2 ⁡ t

Y p t = e - t - cos ⁡ t 10 - sen ⁡ t 5 - cos ⁡ t 4 - cos ⁡ t 20 2 sen ⁡ t cos ⁡ t + 3 cos ⁡ t 20 cos 2 ⁡ t - sen 2 ⁡ t + sen ⁡ t 4 + 3 sen ⁡ t 20 2 sen ⁡ t cos ⁡ t + sen ⁡ t 20 cos 2 ⁡ t - sen 2 ⁡ t

Y p t = e - t - cos ⁡ t 10 - sen ⁡ t 5 - cos ⁡ t 4 - cos ⁡ t 20 2 sen ⁡ t cos ⁡ t + 3 cos ⁡ t 20 1 - sen 2 ⁡ t - sen 2 ⁡ t + sen ⁡ t 4 + 3 sen ⁡ t 20 2 sen ⁡ t cos ⁡ t + sen ⁡ t 20 cos 2 ⁡ t - 1 + cos 2 ⁡ t

Y p = e - t - cos ⁡ t 10 - sen ⁡ t 5 - cos ⁡ t 4 - cos ⁡ t 20 2 sen ⁡ t cos ⁡ t + 3 cos ⁡ t 20 1 - 2 sen 2 ⁡ t + sen ⁡ t 4 + 3 sen ⁡ t 20 2 sen ⁡ t cos ⁡ t + sen ⁡ t 20 2 cos 2 ⁡ t - 1

Y p = e - t - cos ⁡ t 10 - sen ⁡ t 5 - cos ⁡ t 4 - cos 2 ⁡ t sen ⁡ t 10 + 3 cos ⁡ t 20 - 6 cos ⁡ t sen 2 ⁡ t 20 + sen ⁡ t 4 + 6 sen 2 ⁡ t cos ⁡ t 20 + sen ⁡ t cos 2 ⁡ t 10 - sen ⁡ t 20

Y p = e - t - cos ⁡ t 10 - sen ⁡ t 5 - cos ⁡ t 4 + 3 cos ⁡ t 20 + sen ⁡ t 4 - sen ⁡ t 20

Y p = e - t cos ⁡ t - 1 10 - 1 4 + 3 20 + sen ⁡ t - 1 5 + 1 4 - 1 20

Y p = e - t cos ⁡ t - 1 5 + sen ⁡ t 0

Y p = - 1 5 e - t cos ⁡ t

Portanto temos os dados necessários, para escrever a solução geral da equação diferencial que nos foi pedida. Esta será dada pela soma da homogênea associada com a solução particular encontrada. Dessa forma, teremos:

y t = C 1 e t + C 2 cos ⁡ t + C 3 sen ⁡ t - 1 5 e - t cos ⁡ t

Resposta

y t = C 1 e t + C 2 cos ⁡ t + C 3 sen ⁡ t - 1 5 e - t cos ⁡ t

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