Enunciado

Em cada um dos seguintes casos, verificar se o Teorema do Valor Médio se aplica. Em caso afirmativo, achar um número c em ( a , b ) , tal que

f ' c = f b - f a b - a

Interpretar geometricamente.

(g) f x = tg ⁡ x ; a = 0 ,   b = π / 4 .

Passo 1

Bom, pessoal, para sabermos se o Teorema do Valor Médio se aplica, precisamos saber se a f ( x ) é contínua no intervalo dado. No intervalo [ 0 , π / 4 ] , temos que a função f x = tg ⁡ x é contínua e derivável.

Assim, vamos calcular f ' ( c ) !

f ' x = sec 2 ⁡ x

f ' c = sec 2 ⁡ c = tg ⁡ π 4 - tg ⁡ 0 π 4 - 0

Vamos substituir os valores aqui. Como a = 0 e b = π / 4 .

sec 2 ⁡ c = 1 - 0 π 4

sec ⁡ c = 2 √ π

c = arcs ec ⁡ 2 π

Passo 2

Interpretação geométrica: a figura que segue mostra que a reta tangente no ponto c , representada pela cor azul é paralela à reta secante que passa nos pontos ( a , f a ) e ( b , f b ) , representada na cor verde.

Resposta

O número c é igual a:

c = arcsec ⁡ 2 π

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O gráfico da função g é mostrado abaixo. Verifique se ela satisfaz ao teorema do valor médio e estime o valor de c que satisfaça a conclusão do teorema para o intervalo de [0, 8] e [2, 6].
Verifique se a função satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio: f x = e - 2 x ,[ 0,3 ]
Verifique se a função satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio: f x = x x + 2 ,[ 1,4 ]
Mostre que sen ⁡ xx se 0x2 π .
Em cada um dos seguintes casos, verificar se o Teorema do Valor Médio se aplica. Em caso afirmativo, achar um número c em ( a , b ) , tal que f ' c = f b - f a b - a Interpretar geometricamente.(f) f