Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.2 - Ex. 3
O gráfico da função g é mostrado abaixo.
Verifique se ela satisfaz ao teorema do valor médio e estime o valor de c que satisfaça a conclusão do teorema para o intervalo de [0, 8] e [2, 6].
Passo 1
Opa! Bora pra mais uma questão?! Nessa temos que investigar se o gráfico dado satisfaz ao teorema do valor médio e depois vamos estimar o valor de que satisfaça a conclusão desse teorema para o intervalo de e . A função é essa daqui:
O Teorema do Valor Médio diz que:
“Sendo a função que satisfaça às seguintes condições:
- é contínua no intervalo fechado de ;
- é diferenciável no intervalo aberto de ;
Então há um número c no intervalo aberto onde . ”
Bom, com o teorema fresquinho na nossa cabeça agora, vamos analisar o nosso gráfico.
Passo 2
Observando um gráfico conseguimos perceber que temos uma função polinomial. Isso significa que ela será contínua e diferenciável!
Agora, sabendo que cada quadradinho vale uma unidade, podemos achar os valores de c para os intervalos dados no enunciado.
Passo 3
Agora vem a parte mais desafiadora, vamos precisar encontrar os pontos do gráfico onde as derivadas são igual a e .
Para desenharmos uma reta que tem inclinação igual a precisamos andar quadradinhos pra cima e pra direita. Assim:
Agora precisamos estimar os pontos do gráfico que tem essa inclinação:
Podemos estimar que:
Agora a mesma coisa pra inclinação . Dessa vez precisamos andar quadradinho pra baixo pra cada quadradinhos para a direita:
Eu desenhei uma reta maior, pegando todo o intervalo pra ficar mais visível. Agora procuramos os pontos:
Prontinho!