Enunciado

O gráfico da função g é mostrado abaixo.

Verifique se ela satisfaz ao teorema do valor médio e estime o valor de c que satisfaça a conclusão do teorema para o intervalo de [0, 8] e [2, 6].

Passo 1

Opa! Bora pra mais uma questão?! Nessa temos que investigar se o gráfico dado satisfaz ao teorema do valor médio e depois vamos estimar o valor de c que satisfaça a conclusão desse teorema para o intervalo de [ 0 ,   8 ] e [ 2 ,   6 ] . A função é essa daqui:

O Teorema do Valor Médio diz que:

“Sendo f a função que satisfaça às seguintes condições:

  1. f   é contínua no intervalo fechado de [ a ,   b ] ;
  2. f é diferenciável no intervalo aberto de ( a ,   b ) ;

Então há um número c no intervalo aberto ( a ,   b ) onde f ' c = f b - f a b - a . ”

Bom, com o teorema fresquinho na nossa cabeça agora, vamos analisar o nosso gráfico.

Passo 2

Observando um gráfico conseguimos perceber que temos uma função polinomial. Isso significa que ela será contínua e diferenciável!

Agora, sabendo que cada quadradinho vale uma unidade, podemos achar os valores de c para os intervalos dados no enunciado.

g ' c = g 8 - g 0 8 - 0 = 3 - 0 8 - 0 = 3 8

g ' c = g 6 - g 2 6 - 2 = 1 - 3 6 - 2 = - 1 2

Passo 3

Agora vem a parte mais desafiadora, vamos precisar encontrar os pontos do gráfico onde as derivadas são igual a 3 / 8 e - 1 / 2 .

Para desenharmos uma reta que tem inclinação igual a 3 / 8 precisamos andar 3 quadradinhos pra cima e 8 pra direita. Assim:

Agora precisamos estimar os pontos do gráfico que tem essa inclinação:

Podemos estimar que:

c ≈ 2,2

c ≈ 6,4

Agora a mesma coisa pra inclinação - 1 / 2 . Dessa vez precisamos andar 1   quadradinho pra baixo pra cada 2 quadradinhos para a direita:

Eu desenhei uma reta maior, pegando todo o intervalo [ 2,6 ] pra ficar mais visível. Agora procuramos os pontos:

c ≈ 3,7

c ≈ 5,5

Prontinho!

Resposta

c ≈ 2,2

c ≈ 6,4

c ≈ 3,7

c ≈ 5,5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

21. Demostre que d d x x x + 1 = d d x - 1 x + 1 mesmo que x x + 1 ≠ - 1 x + 1 Isso não contradiz o corolário do valor médio? Justifique sua resposta.
20. A fórmula F ( x ) = 3 x + C fornece uma função diferente para cada valor de C. Entretanto, todas essas funções têm a mesma derivada em relação a x , ou seja, F ' ( x ) = 3 . Essas são as únicas fu
19. Água em um reservatório Como resultado das fortes chuvas, o volume de água de um reservatório aumentou 1400 acre-pé em 24 horas. Demonstre que, em algum instante durante o referido período, o volu
No exercício a seguir, comprove que as hipóteses (i), (ii) e (iii) do Teorema de Rolle estão satisfeitas pela função dada no intervalo indicado. Ache então um valor “c” que satisfaça a conclusão do Te
No exercício a seguir, comprove que as hipóteses (i), (ii) e (iii) do Teorema de Rolle estão satisfeitas pela função dada no intervalo indicado. Ache então um valor “c” que satisfaça a conclusão do Te