Enunciado

Café está sendo derramado a uma taxa uniforme de 20   c m 3 / s   em uma xícara em forma de cone truncado (ver figura abaixo). Se os raios superior e inferior da xícara forem de 4 e 2   c m e a altura for de 6   c m , com que rapidez estará subindo o nível de café quando ele estiver na metade da xícara? [Sugestão: Estenda a xícara para baixo para formar um cone.]

Passo 1

Vamos começar já usando a dica que o enunciado dá, colocando os dados nos seus lugares e dando nome a alguns comprimentos, beleza?

Agora podemos tirar algumas informações desse desenho. Olhando para a tangente do ângulo:

tan ⁡ θ = 4 6 + a = 2 a                                           ⇒                                   a =   6

Logo tan ⁡ θ = 1 3

E além disso:

tan ⁡ θ = r h + a = 1 3                                     ⇒                   r = h 3 + 2         e q u a ç ã o   ( 1 )

Passo 2

Como estamos interessados em relacionar o volume ocupado pelo liquido com as dimensões, vamos ter que falar que o volume do tronco de cone formado pelo líquido nada mais é do que o volume ( V 1 ) do cone de altura h + a menos o volume ( V 2 ) do cone de altura a   :

V = V 1 - V 2

V = 1 3 π r 1 2 h 1 - 1 3 π r 2 2 h 2 = π 3 ( r 1 2 h 1 - r 2 2 h 2 )

V = π 3 [ r 2 h + a - 2 2 a ]

Mas a = 6 , lembra?

V = π 3 [ r 2 h + 6 - 2 2 6 ]

V = π 3 r 2 h + 6 - 24                   e q u a ç ã o   ( 2 )

Passo 3

Agora podemos substituir o valor de r encontrado na equação (1) dentro da equação (2):

V = π 3 h 3 + 2 2 h + 6 - 24

Abrindo esses termos:

V = π 3 h 2 9 + 4 h 3 + 4 h + 6 - 24

V = π 3 h 3 9 + 4 h 2 3 + 4 h + 2 h 2 3 + 8 h + 2 4 - 24

V = π 3 h 3 9 + 4 h 2 3 + 4 h + 2 h 2 3 + 8 h

Opa parece a expressão começou a ficar menos feia

V = π 3 h 3 9 + 6 h 2 3 + 12 h

V = π 3 h 3 9 + 2 h 2 + 12 h

Show de bola, agora temos uma expressão que depende apenas do volume e da altura do líquido, que são dados que interessam a gente.

Passo 4

Derivando essa expressão em relação ao tempo:

d V d t = d d t π 3 h 3 9 + 2 h 2 + 12 h  

d V d t = π 3 d d t h 3 9 + d 2 h 2 d t + d 12 h d t

Pela regra da cadeia teremos:      

d V d t = π 3 3 h 2 9 d h d t + ( 4 h ) d h d t + ( 12 ) d h d t

d V d t = π 3 d h d t   h 2 3 + 4 h + 12                     e q u a ç ã o   ( 3 )

Passo 5

Como o enunciado fala que o café é derramado a uma taxa uniforme de 20 c m 3 s , isso nos diz que:

d V d t = 20   c m 3 / s

E nos pergunta com que rapidez estará subindo o nível de café quando ele estiver na metade da xícara, queremos no instante em que h = 6 2 = 3 c m

Substituindo todos esses dados na equação (3), teremos:

d V d t = π 3 d h d t   h 2 3 + 4 h + 12

( 20 ) = π 3 d h d t   ( 3 ) 2 3 + 4 ( 3 ) + 12

20 = π 3 d h d t   3 + 12 + 12 =   π 3 d h d t   [ 27 ]

20 = 9 π d h d t

d h d t = 20 9 π   c m / s

Resposta

d h d t = 20 9 π   c m / s

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