Enunciado

Uma caixa com base quadrada e sem tampa deve ser feita a partir de uma folha de metal, de forma que seu volume seja de 500   c m 3 . Sejam S a área da superfície da caixa e x o comprimento de um lado da base quadrada. Mostre que S = x 2 + 2000 x para x > 0 e esboce o gráfico de S versus x para x > 0 .

Passo 1

Então pessoal, o volume de uma caixa quadrada é dado pelo produto entre a área da base a altura da caixa. Como o volume tem que ser de 500   c m 3 , então:

x 2 y = 500

No qual a área da base é x 2 e a altura é y , ok? Show! Ademais, sabemos que a área da superfície total da caixa é:

S = x 2 + 4 x y

Oxe, da onde surgiu esse 4 x y ? É que cada área lateral da caixa vale x y , e como são 4 lados, logo 4 x y é a área de toda a caixa e x 2 é a área da base da mesma. Isolando y da primeira equação, teremos:

y = 500 x 2

Substituindo na segunda equação:

S = x 2 + 4 x . 500 x 2

S ( x ) = x 2 + 2000 x

Assim como queríamos demonstrar!

Passo 2

Para esboçarmos o gráfico de S versus x temos que determinar os pontos críticos da função S x , para podermos encontrar os extremos relativos e os pontos de inflexão (se existirem). Derivando S x teremos:

S ' x = 2 x - 2000 x 2

S ' x = 2 x 3 - 1000 x 2

Igualando nossa derivada a zero:

2 x 3 - 1000 x 2 = 0

A única forma disso dar zero é se:

x 3 - 1000 = 0

x = 10

Beleza, descobrimos que x = 10 é um ponto crítico. Se adotarmos valores de x menores que 10 e depois valores maiores do que 10 notaremos que a derivada passa de negativa para positiva, o que indica um ponto de mínimo.

Passo 3

Por fim, vamos ver se a função apresenta pontos de inflexão:

S ' ' x = 2 + 2.2000 x 3

S ' ' x = 2 + 4000 x 3

S ' ' x = 2 x 3 + 2000 x 3

A única forma disso dar zero é se:

x 3 = - 2000

O que resultará em uma raíz negativa, que não é um valor aceitável, uma vez que x > 0 . Logo, não temos pontos de inflexão, o que facilita nosso esboço! Dessa forma, teremos um gráfico parecido com:

No qual a função em azul é a parábola y = x 2 , que é nosso limite oblíquo! E está aí nossa resolução, galera!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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