Enunciado

64. Considere a família de curvas y = x n e - x 2 n , onde n é um número inteiro positivo.

a) Use um recurso gráfico para gerar alguns membros dessa família.

b) Discuta o efeito de variar n no formato do gráfico e discuta tanto a localização dos extremos relativos como dos pontos de inflexão.

Passo 1

a) A função que nos foi dada é a seguinte:

y = x n e - x 2 n

Gerar alguns membros dessa família é adotar alguns valores de n , então:

Para n = 2 :

Para n = 3 :

Para n = 4 :

Note que a cada valor de n a função deforma completamente. No entanto, essa é uma análise visual, então vamos calcular os extremos e os pontos de inflexão para termos um argumento mais profundo sobre o significado de n na função.

Passo 2

b) Vamos derivar nossa função para encontrar os pontos críticos, se liga:

y = x n e - x 2 n

y ' = n . x n - 1 . e - x 2 n + x n . - 2 x n . e - x 2 n

y ' = n 2 - 2 x 2 n . x n - 1 . e - x 2 n

Igualando a zero, teremos:

n 2 - 2 x 2 n . x n - 1 . e - x 2 n = 0

A única forma disso dar zero é se:

x n - 1 = 0

x = 0

Ou se:

n 2 - 2 x 2 = 0

x 2 = n 2 2

x = ± n 2 2

Como n está no numerador, o que conseguimos tirar de informação é que quanto mais aumentarmos n , mais a função vai “esticar”, porque o valor de x será maior, ou seja, mais distante da origem do gráfico. Essa análise vale tanto para a raíz positiva quanto pra negativa.

Passo 3

Quanto aos pontos de inflexão, temos:

y ' ' = n 4 - n 3 - 4 x 2 n 2 - 2 x 2 n + 4 x 4 n 2 . x n - 2 e - x 2 n

Igualando a zero, teremos:

n 4 - n 3 - 4 x 2 n 2 - 2 x 2 n + 4 x 4 n 2 . x n - 2 e - x 2 n = 0

A única forma disso dar zero é se:

x = ± n 2 n + 1 ± 8 n + 1 4

Ou seja, temos 4 pontos de inflexão!

E essa é a nossa resolução, galera!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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