Calcula a integral

∫ cos ⁡ π x cos ⁡ 4 π x   d x  

Passo 1

Temos que calcular a integral definida dada. Parece bem difícil né? Mas não, veja só!

A gente tem uma identidade trigonométrica que nos diz que

1 2 cos ⁡ α - β + cos ⁡ α + β = cos ⁡ α cos ⁡ β

Vamos usar essa identidade... Então ,

cos ⁡ π x cos ⁡ 4 π x   = cos ⁡ π x cos ⁡ 4 π x    

Substituindo na integral,

∫ cos ⁡ π x cos ⁡ 4 π x   d x   = ∫ 1 2   cos ⁡ 3 π x   + cos ⁡ 5 π x       d x    

Passo 2

Usando as propriedades de integral da soma e do produto de uma constante por uma função,

∫ 1 2   cos ⁡ 3 π x   + cos ⁡ 5 π x       d x     = 1 2 ∫ cos ⁡ 3 π x     d x + 1 2 ∫ cos ⁡ 5 π x     d x    

Encontrando as primitivas,

1 2 ∫ cos ⁡ 3 π x     d x + 1 2 ∫ cos ⁡ 5 π x     d x   = 1 6 π s e n   3 π x + 1 1 0 π   s e n   5 π x   + K

Resposta

∫ cos ⁡ π x cos ⁡ 4 π x   d x   = 1 6 π s e n   3 π x + 1 1 0 π   s e n   5 π x   + K

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