Enunciado

Calcula a integral

∫ cos ⁡ π x cos ⁡ 4 π x   d x  

Passo 1

Temos que calcular a integral definida dada. Parece bem difícil né? Mas não, veja só!

A gente tem uma identidade trigonométrica que nos diz que

1 2 cos ⁡ α - β + cos ⁡ α + β = cos ⁡ α cos ⁡ β

Vamos usar essa identidade... Então ,

cos ⁡ π x cos ⁡ 4 π x   = cos ⁡ π x cos ⁡ 4 π x    

Substituindo na integral,

∫ cos ⁡ π x cos ⁡ 4 π x   d x   = ∫ 1 2   cos ⁡ 3 π x   + cos ⁡ 5 π x       d x    

Passo 2

Usando as propriedades de integral da soma e do produto de uma constante por uma função,

∫ 1 2   cos ⁡ 3 π x   + cos ⁡ 5 π x       d x     = 1 2 ∫ cos ⁡ 3 π x     d x + 1 2 ∫ cos ⁡ 5 π x     d x    

Encontrando as primitivas,

1 2 ∫ cos ⁡ 3 π x     d x + 1 2 ∫ cos ⁡ 5 π x     d x   = 1 6 π s e n   3 π x + 1 1 0 π   s e n   5 π x   + K

Resposta

∫ cos ⁡ π x cos ⁡ 4 π x   d x   = 1 6 π s e n   3 π x + 1 1 0 π   s e n   5 π x   + K

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Ache a área da região limitada pelo eixo x, pela curva y = 1 5 - 4 x - x ² ² e pelas retas x = - 7 2ex = - 1 2 .
Ache a área da região limitada pela curva y = 8 x ² + 4 , ² pelo eixo x , pelo eixo y e pela reta x = 2 .
Nos Exercícios de 26 a 34, calcule a integral definida. 32 )∫ 1 2 1 d x x 4 x ² - 1 ²
Ache a área da região limitada pela curva x ² = 4 a yey = 8 a 3 x ² + 4 a ² . ² ² ²
Nos exercícios de 40 a 42, prove a fórmula indicada do Teorema 8.3.2, fazendo uma variação adequada da variável e então usando o Teorema 8.3.1.41) Fórmula (5)