Enunciado

Calcula a integral

int x s e n^3 x d x

Passo 1

Temos que calcular a integral definida dada. Parece bem difícil né? Mas não, veja só!

Olhando para o integrando, temos uma potência de uma função trigonométrica, o que nos dá a ideia e fazer o uso da uma identidade que já conhecemos:

s e n^2 x = ([1 - cos 2 x])/(2)

Perceba que

int x s e n^3 x d x = int x s e n x * s e n^2 x d x = int x s e n x ([1 - cos 2 x])/(2) d x

Abrindo as contas e usando as propriedades de integral da soma e do produto de uma constante por uma função,

int x s e n x ([1 - cos 2 x])/(2) d x = (1)/(2) int x s e n x d x - (1)/(2) int x s e n x cos 2 x d x

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente para depois substituir lá nas contas iniciais, tá?

Passo 2

Vamos resolver primeiro

int x s e n x d x

Note que e a gente tem um produto de funções.. caçando bem na memória, uma técnica de integração que nos parece útil em situações com essa é a por partes, então vamos usar, tomando u = x => d u = d x

E,

d v = s e n x => v = - c o s x

Sendo assim,

int x s e n x d x = - x cos x + int c o s x d x = - x c o s x + s e n x

Passo 3

Vamos resolver

��� x s e n x cos 2 x d x

Por ter um produto de funções, nos parece que vamos usar partes né? Mas se ligue, no produto das funções, tem o seno e cosseno se multiplicando com argumentos diferentes, o que nos lembra a identidade

s e n alpha c o s beta = (1)/(2) [s e n (alpha - beta) + s e n (alpha + beta)]

No nosso caso,

s e n x cos 2 x = (1)/(2) [s e n (- x) + s e n (3 x)]

Substituindo na integral,

int x s e n x cos 2 x d x = int x (1)/(2) [s e n (- x) + s e n (3 x)] d x

Fazendo o produto e usando as propriedades de integral,

int x (1)/(2) [s e n (- x) + s e n (3 x)] d x = - (1)/(2) int x s e n (x) d x + (1)/(2) int x s e n (3 x) d x

Temos que achar as primitivas, na igualdade acima... mas veja só : a gente já fez as duas, uma de maneira mais clara, pois vimos que

- (1)/(2) int x s e n (x) d x = - (1)/(2) [- x c o s x + s e n x]

Mas a outra integral, é so a gente fazer o seguinte

u = 3 x => x = (u)/(3)

Daí, d u = 3 d x e

int x s e n (3 x) d x = (1)/(9) int u s e n (u) d u

Mas a gente já fez essa conta,

(1)/(9) int u s e n (u) d u = (1)/(9) [- u c o s u + s e n u] = - (1)/(9) [ - 3 x cos (3 x) + s e n (3 x) ]

Logo,

int x s e n x cos 2 x d x = [- (1)/(2) [- x c o s x + s e n x] - - (1)/(9) [- 3 x cos (3 x) + s e n (3 x)]]

Passo 4

Vamos substituir na nossa conta inicial o que fizemos nos passos anteriores, ou seja,

(1)/(2) int x s e n x d x - (1)/(2) int x s e n x cos 2 x d x = (1)/(2) [- x c o s x + s e n x] - (1)/(2) [- (1)/(2) [- x c o s x + s e n x] - - (1)/(9) [- 3 x cos (3 x) + s e n (3 x)]]

Arrumando as contas,

(1)/(2) int x s e n x d x - (1)/(2) int x s e n x cos 2 x d x = (3)/(4) s e n x - (1)/(36) s e n (3 x) - (3)/(4) x cos x + 3 x cos 3 x + K

Resposta

int x s e n^3 x d x = (3)/(4) s e n x - (1)/(36) s e n (3 x) - (3)/(4) x cos x + 3 x cos 3 x + K

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