Enunciado

Ache a área da região limitada pela curva x ² = 4 a y e y = (8 a^3)/(x ² + 4 a ²) .

Passo 1

Assumindo que a > 0 , nós temos que as curvas se encontram em dois pontos. Desenhando a situação teremos algo parecido com a figura abaixo:

Para achar estes pontos devemos igualar os valores de y para obter o valor de x :

(8 a^3)/(x ² + 4 a ²) = (x^2)/(4 a)

(x^2 + 8 a^2) (x^2 - 4 a^2) = 0

(x^2 + 8 a^2) = n ã o e x i s t e r a í z e s r e a i s

(x^2 - 4 a^2) = 0

x^' = 2 a x^(' ') = - 2 a

Então, temos uma área delimitada em cima pela curva y = (8 a^3)/(x ² + 4 a ²) e em baixo por y = (x^2)/(4 a) , a direita por x = 2 a e a esquerda por x = - 2 a . Integrando nestas condições:

int_(2 a)^(- 2 a) ((8 a^3)/(x^2 + 4 a^2) - (x^2)/(4 a)) . d x

int_(2 a)^(- 2 a) (8 a^3)/(x^2 + 4 a^2) . d x - int_(2 a)^(- 2 a) (x^2)/(4 a) . d x

8 a ³ int_(2 a)^(- 2 a) (d x)/(x^2 + 4 a^2) - (1)/(4 a) int_(2 a)^(- 2 a) x ² . d x

Passo 2

Podemos resolver a primeira integral segundo o Teorema 8.3.2, onde as integrais das funções trigonométricas são dadas em função de a ² e u ² . Sendo assim,

u = x

a = 2 a

Derivando u: d u = d x

Substituindo:

8 a ³ int_(2 a)^(- 2 a) (d x)/(x^2 + 4 a^2) = 8 a ³ int_(- 2 a)^(2 a) (d u)/(u ² + ( 2 a ) ²)

Pelo mesmo Teorema:

8 a ³ int_(- 2 a)^(2 a) (d u)/(u ² + ( 2 a ) ²) = 8 a ³ . (1)/(2 a) . t g^(- 1) ((x)/(2 a)) | [[2,a],[-,2,a]] = 4 a ² [t g^(- 1) 1 - t g^(- 1) - 1]

Usando a calculadora:

4 a ² [t g^(- 1) 1 - t g^(- 1) - 1] = 4 a ² [ (pi)/(4) - ( - (pi)/(4) ) ] = 2 a ² pi

Substituindo e integrando o segundo termo:

8 a ³ int_(2 a)^(- 2 a) (d x)/(x^2 + 4 a^2) - (1)/(4 a) int_(2 a)^(- 2 a) x^2 . d x = 2 a^2 pi - (x^3)/(12 a) | [[2,a],[-,2,a]] = 2 a^2 pi - (4 a^3)/(3)

Nós usamos a > 0 porque quando a < 0 , a concavidade da curva x ² = 4 a y é voltada para baixo e estas duas curvas não se interceptam.

Resposta

Á r e a = 2 a^2 pi - (4 a^3)/(3)

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