Calcula o valor médio de f(x) = x \* sec^2(x) no intervalo [0, pi/4]

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que calcular o valor médio de:

f x = x sec 2 ⁡ x

No intervalo 0 , π 4 .

Tem ideia de como fazemos isso?

Vamos relembrar a fórmula para achar o valor médio...

O valor médio de uma função qualquer f x em um intervalo a , b é dado por:

f m e d   = 1 b - a   ∫ a b     f x d x

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Nesse caso temos que a =   0 e b = π 4 . Vamos substituir?

f m e d   = 1 b - a   ∫ a b     f x d x =     1 π 4 - 0 ∫ 0 π 4 x sec 2 ⁡ x   d x  

f m e d   =     4 π ∫ 0 π 4 x sec 2 ⁡ x   d x  

Vamos usar o método de integração por partes com:

u = x → d u = d x

d v = sec 2 ⁡ x d x → v = tan ⁡ x

Ou seja:

∫ x sec 2 ⁡ x d x = x tan ⁡ x - ∫ tan ⁡ x d x

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos que

∫ tan ⁡ x d x = - ln ⁡ cos ⁡ x + C

Ou seja:

∫ x sec 2 ⁡ x d x = x tan ⁡ x - - ln ⁡ cos ⁡ x + C  

∫ x sec 2 ⁡ x d x = x tan ⁡ x + ln ⁡ cos ⁡ x + C  

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 π 4 x sec 2 ⁡ x   d x = x tan ⁡ x + ln ⁡ cos ⁡ x 0 π 4

∫ 0 π 4 x sec 2 ⁡ x   d x = π 4 tan ⁡ π 4 + ln ⁡ cos ⁡ π 4 - 0 tan ⁡ 0 + ln ⁡ cos ⁡ 0

∫ 0 π 4 x sec 2 ⁡ x   d x = π 4 + ln ⁡ 2 2

Podemos simplificar ln ⁡ 2 2 reescrevendo 2 2 ...

ln ⁡ 2 2 = ln ⁡ 2 - 1 2

Assim, pela propriedade do expoente no logaritmo, temos:

ln ⁡ 2 2 = ln ⁡ 2 - 1 2 = - 1 2 ln ⁡ 2

Substituindo na integral...

∫ 0 π 4 x sec 2 ⁡ x   d x = π 4 - 1 2 ln ⁡ 2

E finalmente, substituindo em f m e d ...

f m e d   =     4 π ∫ 0 π 4 x sec 2 ⁡ x   d x = 4 π π 4 - 1 2 ln ⁡ 2

f m e d = 1 - 2 ln ⁡ 2 π

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

f m e d = 1 - 2 ln ⁡ 2 π

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