Calcule a integral.

∫ 0 3 a r c t g   1 x   d x

Passo 1

Olá, amigo, a questão aqui é direta e reta. Precisamos aqui resolver essa integral.

Precisamos resolver a integral usando integração por partes! Comumente utilizamos a integração por partes quando possuímos produtos entre funções, mas ela pode ser também utilizada em situações em que o cálculo direto da integral não é fácil ou não é possível, em situações em que realizar uma substituição de variável não se aplica. E Iremos utilizar aqui e agora.

Relembrando a técnica, temos que

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Passo 2

Aparentemente temos apenas uma função correto? Quem chamar de u e quem chamar de d v ? Vou reescrever a integral como

∫ 0 3 a r c t g   1 x   d x = ∫ 0 3 1 ⋅ a r c t g   1 x   d x

Assim, vamos tomar d v = 1 ⋅ d x e u = a r c t g   1 x , assim v = x e

d u = 1 1 + 1 x 2 ⋅ - 1 x 2 d x = x 2 x 2 + 1 ⋅ - 1 x 2 d x = - 1 1 + x 2   d x

Desta forma, a integral fica

∫ 0 3 a r c t g   1 x   d x = x   a r c t   1 x 0 3 + ∫ 0 3 x x 2 + 1   d x

Passo 3

Observe que x   a r c t   1 x 0 3 = 3   a r c t g   1 3 = 3   a r c t g 3 3 = 3 π 6 . Assim,

∫ 0 3 a r c t g   1 x   d x = π 3 6 + ∫ 0 3 x x 2 + 1   d x

Precisamos calcular a segunda integral. Note que a substituição t = x 2 + 1 ⇒ d t = 2 x   d x . Assim, para x = 0 , t = 1 e, para x = 3 ⇒ t = 4 .

Passo 4

Fazendo a substituição:

∫ 0 3 x x 2 + 1   d x = 1 2 ∫ 1 4 1 t d t = 1 2 ln ⁡ t 1 4 = 1 2 ln ⁡ 4 - ln ⁡ 1 = 1 2 ln ⁡ 4 = ln ⁡ 4 = ln ⁡ 2

Assim,

∫ 0 3 a r c t g   1 x   d x = π 3 6 + ln ⁡ 2

Resposta

π 3 6 + ln ⁡ 2

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