Calcule a integral

∫ 0 π 2 s e n 7 θ cos 5 ⁡ θ   d θ

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos resolver a seguinte integral:

∫ 0 π 2 s e n 7 θ cos 5 ⁡ θ   d θ

Mas antes, devemos reescrever a nossa integral para ver se dá uma melhorada nas ideias, em casos de integração com funções trigonométricas isso nos ajuda bastante.

Passo 2

∫ 0 π 2 s e n 7 θ cos 5 ⁡ θ   d θ =   ∫ 0 π 2 s e n 7 θ cos 4 ⁡ θ cos ⁡ θ   d θ

Usando a identidade cos 2 ⁡ x   = 1 - s e n 2 x

∫ 0 π 2 s e n 7 θ cos 4 ⁡ θ cos ⁡ θ   d θ = ∫ 0 π 2 s e n 7 θ 1 - s e n 2 θ 2 cos ⁡ θ d θ

Agora sim ficou melhor!! Bora resolver?? 😉

Passo 3

Vamos fazer a seguinte mudança de variáveis:

u = s e n   θ               d u = cos ⁡ θ d θ

Daí, nossos limites de integração ficam:

θ = π 2 → u = 1             θ = 0 → u = 0

Substituindo na integral, obtemos:

∫ 0 π 2 s e n 7 θ 1 - s e n 2 θ 2 cos ⁡ θ d θ = ∫ 0 1 u 7 1 - u 2 2 d u  

Agora ficou melhor!! Bora lá!! 😉

Passo 4

∫ 0 π 2 s e n 7 θ 1 - s e n 2 θ 2 cos ⁡ θ d θ =     ∫ 0 1 u 7   1 - 2 u 2 + u 4   d u      

Distribuindo u 7 e separando a integral (regra da soma de integrais), obtemos:

∫ 0 1 u 7   1 - 2 u 2 + u 4   d u       =   ∫ 0 1 u 7   d u   -   2   ∫ 0 1 u 9   d u       +   ∫ 0 1 u 11   d u      

Resolvendo cada integral pela regra da potência, temos:

∫ 0 1 u 7   1 - 2 u 2 + u 4   d u = 1 8 u 8 - 1 5 u 10 + 1 12 u 12 0 1

= 1 8 - 1 5 + 1 12 - 0

= 15 - 24 + 10 120

∫ 0 1 u 7   1 - 2 u 2 + u 4   d u = 1 120

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

∫ 0 π 2 s e n 7 θ cos 5 ⁡ θ   d θ =   1 120  

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