Enunciado

Calcular ∭ T d V , onde T é a região limitada por x 2 + y 2 = 4 e y 2 + z 2 = 4 .

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar:

Para calcular o volume nós vamos precisar limitar z.

O z será definido por:

y 2 + z 2 = 4

z 2 = 4 - y 2

z = ± 4 - y 2

Já o x nós teremos:

y 2 + x 2 = 4

x 2 = 4 - y 2

x = ± 4 - y 2

Obrigatoriamente:

4 - y 2 ≥ 0

y ≤ ± 2

Que nos dá:

- 2 ≤ y ≤ 2

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração, podemos usar a definição (4) para mudar as variáveis de integração:

∭ T d V = ∬ R ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 d z d x d y

Resolvendo:

∫ - 4 - y 2 4 - y 2 d z = z = 2 4 - y 2

Sendo assim:

= ∬ R ( 2 4 - y 2 ) d x d y

= 2 ∫ - 2 2 ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 4 - y 2 d x d y  

Resolvendo a integral:

= 2 ∫ - 2 2 ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 4 - y 2 d x d y = 2 ∫ - 2 2 4 - y 2 ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 d x d y

Sabendo que:

∫ - 4 - y 2 4 - y 2 d x = 2 4 - y 2

Então:

= 4 ∫ - 2 2 ( 4 - y 2 ) d y

= 4 4 y - y 3 3 = 4 4 ( 2 - ( - 2 ) ) - 2 3 - - 2 3 3

= 4 16 - 16 3 = 128 3

O que acharam desta?

Resposta

128 3

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →