Enunciado

Calcular ∭ T z . d V , onde T é a região interior às superfícies z = 0 e z = 4 - x 2 - y 2 , interior ao cilindro x 2 + y 2 = 1 .

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar:

O nosso cilindro é delimitado superiormente pelo paraboloide a esfera e inferiormente pelo plano z=0, certo?

Então z estará entre:

z = 0

E:

z = 4 - x 2 - y 2

Sendo assim, em coordenadas cilíndricas para facilitar a integral:

0 ≤ z ≤ 4 - r 2

De acordo com a equação do cilindro:

x 2 + y 2 = 1

Então:

r 2 = 1

r = ± 1

Sendo assim,

0 ≤ r ≤ 1

Só falta nós acharmos o ângulo, mas como ambos fazem uma volta completa:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração, podemos usar a definição (4) para mudar as variáveis de integração:

∭ T d V = ∬ R ∫ 0 4 - r 2 z . d z r d r d θ

Resolvendo:

∫ 0 4 - r 2 z . d z = z 2 2 = 1 2 4 - r 2 2 - 0 2 = 1 2 ( 16 - 8 r 2 + r 4 )

= 8 - 4 r 2 + r 4 2

Sendo assim:

= ∬ R 8 - 4 r 2 + r 4 2 r d r d θ

Aplicando na integral:

= ∫ 0 2 π [ ∫ 0 1 8 - 4 r 2 + r 4 2 . r d r ]   d θ  

Resolvendo a integral:

∫ 0 1 8 - 4 r 2 + r 4 2 . r d r = ∫ 0 1 8 r - 4 r 3 + r 5 2 . d r

= 8 × r 2 2 - 4 × r 4 4 + 1 2 × r 6 6

Aplicando o intervalo:

= 8 × 1 2 2 - 4 × 1 4 4 + 1 2 × 1 6 6

= 4 - 1 + 1 12

= 48 - 12 + 1 12 = 37 12

Passo 3

Agora vamos colocar o resultado do passo 2 na equação:

= ∫ 0 2 π 37 12 d θ  

= 37 12 θ

Aplicando o intervalo:

= 37 π 6

Gostaram dessa?

Resposta

37 π 6

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

∫ 0 2 ∫ r - 2 4 - r 2 ∫ 0 2 π rs e n θ + 1 rd θd zd r
∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 1 - cos ⁡ ϕ 2 ρ 2s e n ϕd ρ d ϕ d θ
Nos Exercícios 33-38, (a) encontre os limites em coordenadas esféricas para a integral que calcula o volume do sólido dado e em seguida (b) calcule a integral.O sólido entre a esfera r=c o s ⁡ ( ϕ ) e
Cilindro e superfície z = xy Encontre o volume da regiao no primeiro octante que esta entre os cilindros r = 1 e r = 2 e que esta delimitada inferiormente pelo plano xy e superiormentepela superficie
Encontre os volumes dos sólidos nos Exercícios 43-48.