Calcular a área delimitada pela hipociclóide

x = 4 sen 3 ⁡ t y = 4 cos 3 ⁡ t

Passo 1

Temos a seguinte representação gráfica da região delimitada pela hipociclóide:

Passo 2

A área de uma região delimitada pela hipociclóide é dada pela seguinte equação:

A = ∫ t 0 t y t ⋅ x ' ( t ) d t

Sendo assim, a derivada de x , é:

x ' = 12   s e n 2   t ⋅ cos ⁡ t

Passo 3

Substituindo y e x ' na equação da área de uma região delimitada pela hipociclóide, temos:

A = ∫ 0 2 π 4 cos 3 ⁡ t ⋅ 12   s e n 2   t ⋅ cos ⁡ t   d t = 48 ∫ 0 2 π cos 4 ⁡ t ⋅ s e n 2   t d t

A = 48 ∫ 0 2 π cos 4 ⁡ t ⋅ ( 1 - cos 2 ⁡ t ) d t = 48 ∫ 0 2 π ( cos 4 ⁡ t - cos 6 ⁡ t ) d t

Integrando:

A = 48 3 8 t - 1 6 cos 3 ⁡ t ⋅ s e n   t - 3 32 s e n   4 t - 1 6 cos 5 ⁡ t ⋅ s e n   t - 5 64 4 t - s e n   4 t

Aplicando os limites, temos:

A = 48 3 π 4 - 0 - 0 - 0 - 5 π 8 + 0 = 48 6 π - 5 π 8 = 48 π 8 = 6 π

Resposta

6 π   u .   a

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