Enunciado

Ache a área da região limitada pela curva:

y = 9 9 - x 2

pelos eixos coordenados e pela reta x = 2 2 .

Passo 1

Primeiro passo é identificar que área é essa, né? Mas desenhar o gráfico dessa função é complicado e, na verdade, nem precisamos, pois essa é uma função positiva, pessoal. Nesse caso, ao calcular a integral em certo intervalo, o resultado é justamente a área!

Mas qual seria o nosso intervalo? O problema disse que a área é limitada pela curva e pelos eixos coordenados, ou seja, as retas x = 0 , e y = 0 e também disse a reta x = 2 2 .

Daqui nos já descobrimos o intervalo de integração, é do x = 0 ao x = 2 2 . Vamos confirmar com a imagem abaixo:

Passo 2

A área de acordo com os dados anteriores é dada pela integral:

A = ∫ 0 2 2 9 9 - x 2 d x

Antes de resolver, precisamos manipular um pouco a integral para tentar deixar o denominador igual 1 - u 2 , ok? Vou deixar o 9 em evidência então.

A = ∫ 0 2 2 9 9 - x 2 d x = ∫ 0 2 2 9 9 1 - x 2 3 2 d x = ∫ 0 2 2 9 3 1 - x 3 2 d x = ∫ 0 2 2 3 1 - x 3 2 d x

Agora está bacana.

Passo 3

Faremos então u = x 3 e derivando, temos d u = 1 3 d x .

Para ficar melhor, vamos deixar o d x sozinho para trocar a variável da integral.

Sendo assim, d x = 3 d u .

Passo 4

Trocando a variável da integral, ficamos com:

A = ∫ 0 2 2 3 1 - x 3 2 d x = ∫ c d 3 ( 3 d u ) 1 - u 2 = 9 ∫ c d d u 1 - u 2

Por que os limites de integração viraram c e d ? É porque os limites anteriores são da integral na variável x , então eu não posso repetir! Vamos achar o c e d usando a tabela:

Sendo assim, a integral será uma integral definida que tem primitiva imediata.

A = 9 ∫ 0 2 2 3 d u 1 - u 2

Passo 5

Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

E temos ( sen - 1 ⁡ u ) ' = 1 1 - u 2 .

Dessa forma,

A = 9 ∫ 0 2 2 3 d u 1 - u 2 = 9 sen - 1 ⁡ u 0 2 2 3 = 9 sen - 1 ⁡ 2 2 3 - sen - 1 ⁡ 0

Logo, a área é:

A = 9 sen - 1 ⁡ 2 2 3   u . a

u . a significa é unidades de área.

Resposta

A = 9 sen - 1 ⁡ 2 2 3   u . a

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