Enunciado

Calcular a área da parte do paraboloide x = y 2 + z 2 delimitada pelos planos x = 4 e x = 9 .

Passo 1

De maneira simples, temos que lembrar que o cálculo da área de uma superfície é dada por

A S = ∬ R 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d x   d y

Assim precisamos apenas conhecer nossa funções z e nossos limites de integração.

Passo 2

Não estamos construindo o Frankenstein, mas vamos por partes. Primeiro tome nossa função f y , z fazendo com que nossa integral seja na verdade definida da seguinte maneira:

A S = ∬ R 1 + ∂ x ∂ y 2 + ∂ x ∂ z 2 d y   d z

Assim temos como nossas derivadas direcionais

∂ x ∂ y = 2 y

e

∂ z ∂ y = 2 z

Conhecendo nossas derivadas, podemos determinar que o fator de integração se resume em

1 + 4 y 2 + 4 z 2

Vamos usar coordenadas cilindras para nos ajudar a entender melhor nossas limitações, assim temos.

y = r cos ⁡ θ

z = r   s e n   θ

x = x

Assim nossa integral se transforma

A S = ∬ R 1 + 4 ( x 2 + y 2 ) d x   d y = ∬ R 1 + 4 r 2   r   d r   d θ

Pelas equações do plano que nos limitam, temos que em x = 4 → r = 2 e em x = 9 → r = 3

Nesta temos que r ∈ 2,3 enquanto θ varia de 0 à 2 π .

Passo 3

Vamos integrar?

A S = ∫ 0 2 π ∫ 2 3 1 + 4 r 2   r   d r   d θ

Para a primeira parte, vamos fazer 1 + 4 r 2 = u → r   d r = d u / 8

Assim temos que em r = 2 → u = 17 e r = 3 → u = 37

A S = 1 8 ∫ 0 2 π ∫ 17 37 u   d u d θ = 1 12 ∫ 0 2 π u 3 2 17 37 d θ

= π 6 37 37 - 17 17

Resposta

π 6 37 37 - 17 17   u . a

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular ∫ ∫ S x + y + zd S S é a face superior do cubo 0 ≤ x ≤ 1 ,0 ≤ y ≤ 1 ,0 ≤ z ≤ 1 S é a face da frente do cubo do item a)
Calcular ∫ ∫ S x 2 zd S Onde S é a superfície cilíndrica x 2 + y 2 = 1; 0 ≤ z ≤ 1
Calcular ∫ ∫ S x + z d S Onde S é a superfície plana 2 x+ 2 y+z=6 , no 1º octante
Calcular ∫ ∫ S 2 zd S Onde S é a parte do paraboloide z=x ²+ y ² -2 ² ² abaixo do plano xy
Calcular ∫ ∫ S x y zd S Onde S é a superfície plana 3 x + 2 y+z=12 , delimitada pelos planos y = 0 , y = 2 , x = 0 , x = 1