2)Calcular ∬ R sen ⁡ x 2 + y 2   d x   d y onde R é a região da Figura 7.33.

Passo 1

Ao analisar o gráfico, temos:

- 2 ≤ r ≤ 2

0 ≤ θ ≤ π

Pelas coordenadas polares, temos que:

x = r ⋅ cos ⁡ θ

y = r ⋅ sen ⁡ θ

J a c o b i a n o = r

Dessa forma, temos:

x 2 + y 2 = r 2 ⋅ cos 2 ⁡ θ + r 2 ⋅ sen 2 ⁡ θ

cos 2 ⁡ + sen 2 ⁡ = 1

Logo,

= r 2 ⋅ cos 2 ⁡ θ + r 2 ⋅ sen 2 ⁡ θ = r 2

Dessa forma, temos:

∬ 0     0 π       2 ( sen ⁡ r 2 )   r   d r   d θ

Passo 2

Primeiro vamos integrar com relação a r ,

∫ 0 2 ( sen ⁡ r 2 )   r d r =

Nesse caso, vamos resolver pelo método da substituição. Vamos chamar,

u = r 2

d u = 2 r   ∴ r = d u 2

Dessa forma:

1 2 ∫ sen ⁡ u d u

= 1 2 ⋅ - cos ⁡ u + c  

Voltando com u = r 2

1 2 - cos ⁡ r 2 0 2 =

1 2 ⋅ ( - cos ⁡ 4 + 1 )

Passo 3

Agora vamos integrar em relação a θ ,

∫ 0 π - 1 2 cos ⁡ 4 + 1 2   d θ   =

1 2 - 1 2 cos ⁡ 4 0 π = - 1 2 cos ⁡ 4 + 1 2 π

Resposta

- 1 2 cos ⁡ 4 + 1 2 π

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