5) Usando coordenadas polares, calcular

b)

∫ - 2 2 ∫ - 4 - x 2 4 - x 2 ( x 2 + y 2 ) d x d y

Passo 1

Ao analisarmos os limites temos:

x = 4 - y 2

x 2 + y 2 - 4 = 0

x 2 + y 2 = 4

Pelas coordenadas polares, sabemos que:

x = r ⋅ cos ⁡ θ

y = r ⋅ sen ⁡ θ

Portanto:

r 2 ⋅ sen 2 ⁡ θ + r 2 ⋅ cos 2 ⁡ θ = 4

r 2 = 4

r = 2

Assim,

0 ≤ r ≤ 2

0 ≤ θ ≤ 2 π

Obs.: Ao analisarmos os limites de integração, temos a ocorrência de uma rotação de 360 ° . Por isso o θ varia nesse intervalo.

Pelas coordenadas polares, temos que:

x = r ⋅ cos ⁡ θ

y = r ⋅ sen ⁡ θ

J a c o b i a n o = r

Dessa forma:

∫ 0 2 π ∫ 0 2 r ⋅ sen ⁡ θ ⋅   r d r   d θ

Passo 2

Primeiro vamos integrar com relação a r ,

∫ 0 2 r ⋅ sen ⁡ θ ⋅   r d r =

sen ⁡ θ ⋅ r 3 3 0 2 =

8 3 ⋅ sen  ⁡ θ

Passo 3

Agora vamos integrar em relação a θ ,

8 3 ∫ 0 2 π sen ⁡ θ d θ   =

- 8 3 ⋅ cos ⁡ θ 0 2 π =

- 8 3 ⋅ 1 - 1 = 0  

Resposta

0

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