Enunciado

5) Usando coordenadas polares, calcular

b)

int_(- 2)^2 int_(- sqrt(4 - x^2))^(sqrt(4 - x^2)) ( x^2 + y^2 ) d x d y

Passo 1

Ao analisarmos os limites temos:

x = sqrt(4 - y^2)

x^2 + y^2 - 4 = 0

x^2 + y^2 = 4

Pelas coordenadas polares, sabemos que:

x = r * cos theta

y = r * sen theta

Portanto:

r^2 * sen^2 theta + r^2 * cos^2 theta = 4

r^2 = 4

r = 2

Assim,

0 <= r <= 2

0 <= theta <= 2 pi

Obs.: Ao analisarmos os limites de integração, temos a ocorrência de uma rotação de 360 ° . Por isso o theta varia nesse intervalo.

Pelas coordenadas polares, temos que:

x = r * cos theta

y = r * sen theta

J a c o b i a n o = r

Dessa forma:

int_0^(2 pi) int_0^2 r * sen theta * r d r d theta

Passo 2

Primeiro vamos integrar com relação a r ,

int_0^2 r * sen theta * r d r =

((sen theta * r^3)/(3)|_0^2 =

(8)/(3) * sen theta

Passo 3

Agora vamos integrar em relação a theta ,

(8)/(3) int_0^(2 pi) sen theta d theta =

(- (8)/(3) * cos theta|_0^(2 pi) =

- (8)/(3) * (1 - 1) = 0

Resposta

0

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Uma região R é mostrada. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares, e escreva ∬ R f x , y d A como uma integral iterada, onde f é uma função qualquer contínua em R .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ D xd A , onde D é a região delimitada do primeiro quadrante compreendida entre os círculos x 2 + y 2 = 4 e x 2 + y 2 = 2 x .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ R y e xd A , onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x 2 + y 2 = 25 .
4)Calcular ∬ R d xd y 1 + x 2 + y 2 3 2 onde R é a região da Figura 7.35.
2)Calcular ∬ R sen ⁡ x 2 + y 2d xd y onde R é a região da Figura 7.33.