Enunciado

Calcular a área da parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9 que está no interior do cilindro x 2 + y 2   = 4

Passo 1

De maneira simples, temos que lembrar que o cálculo da área de uma superfície é dada por

A S = ∬ R 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d x   d y

Assim precisamos apenas conhecer nossa funções z e nossos limites de integração.

Passo 2

Não estamos construindo o Frankenstein, mas vamos por partes. Primeiro tome nossa função f x , y

f x , y = z = 9 - x 2 - y 2

Tendo assim como derivadas direcionais

∂ z ∂ x = - x 9 - x 2 - y 2

e

∂ z ∂ y = - y 9 - x 2 - y 2

Conhecendo nossas derivadas, podemos determinar que o fator de integração se resume em

1 + - x 9 - x 2 - y 2 2 + - y 9 - x 2 - y 2 2 = 3 9 - x 2 - y 2

Vamos usar coordenadas cilindras para nos ajudar a entender melhor nossas limitações, assim temos.

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

z = z

Assim nossa integral se transforma

A S = ∬ R 3 9 - x 2 - y 2 d x   d y = ∬ R 3 9 - r 2   r   d r   d θ

Pela equação do cilindro que limita nossa esfera, temos que, ele está centrado no 0,0 e de raio 2

Onde temos

θ ∈ 0,2 π

r ∈ 0,2

Onde R é o raio da esfera.

Passo 3

Vamos integrar?

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 3 r 9 - r 2 d r   d θ

Para a primeira parte, vamos fazer 9 - r 2 = u → r   d r = - d u / 2

Assim temos

A S = - 3 ∫ 0 2 π 9 - r 2 0 2 d θ

Lembrando que cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ = 1

A S =   - 3 ∫ 0 2 π 5 - 3   d θ = 3 ∫ 0 2 π 3 - 5   d θ  

E assim caminhando

A S = 6 3 - 5 π

Que é o valor a parte interna que está acima do plano x y Então temos que a área total é o dobro do valor que obtivemos, ou seja

A S = 12 π 3 - 5

Resposta

12 π 3 - 5   u . a

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Calcular a área da parte do paraboloide x = y 2 + z 2 delimitada pelos planos x = 4 e x = 9 .
Determinar a área da porção do plano z = 4 x , cortada pelo cilindro x 2 + y 2 = 4 .
Determinar a área da porção esférica x 2 + y 2 + z 2 = 4 cortada pela parte superior do cone x 2 + y 2 = z 2 .
Determinar a área da superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 = 9 que está no interior do cilindro x 2 + y 2= 3 x
Calcular a área da parte do plano 2 x + 2 y + z = 4 compreendida no interior da superfície prismática 1 ≤ x ≤ 2 ,1 ≤ y ≤ 2 .