Enunciado

Calcular a diferencial da função dada

f (x , y , z) = e^(x + y - z^2)

Passo 1

A diferencial de uma função de três variáveis, w = f ( x , y , z ) , é uma função ou transformação linear que melhor aproxima o acréscimo Delta w da variável dependente w.

Sabemos que a diferencial total de uma função de n variáveis é a soma das suas diferenciais parcias, isto é:

d f = sum_(i = 1)^n (del f)/(del x_i) d x_i

Passo 2

Pela fórmula da diferencial para funções de três variáveis, temos que

d f = (del f)/(del x) d x + (del f)/(del y) d y + (del f)/(del z) d z

(del f)/(del x) = e^(x + y - z^2)

(del f)/(del y) = e^(x + y - z^2)

(del f)/(del z) = - 2 z e^(x + y - z^2)

Portanto,

d f ( x , y ) = (e^(x + y - z^2)) d x + (e^(x + y - z^2)) d y + (- 2 z e^(x + y - z^2)) d z

d f ( x , y ) = (e^(x + y - z^2)) ( d x + d y - 2 z d z )

Resposta

d f ( x , y ) = (e^(x + y - z^2)) ( d x + d y - 2 z d z )

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