Calcular a diferencial da função dada

f(x1, x2, x3) = (x1 + x2 + x3) / (x1^2 + x2^2 + x3^2)

Passo 1

A diferencial de uma função de três variáveis, w   =   f ( x , y , z ) , é uma função ou transformação linear que melhor aproxima o acréscimo ∆ w da variável dependente w.

Sabemos que a diferencial total de uma função de n variáveis é a soma das suas diferenciais parcias, isto é:

d f   =   ∑ i = 1 n ∂ f ∂ x i d x i

Passo 2

Pela fórmula da diferencial para funções de três variáveis, temos que

d f = ∂ f ∂ x 1 d x 1 +   ∂ f ∂ x 2 d x 2 +   ∂ f ∂ x 3 d x 3

∂ f ∂ x 1 = - x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 - 2 x 1 ( x 2 + x 3 ) x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 2

∂ f ∂ x 2 = - x 2 2 + x 1 2 + x 3 2 - 2 x 2 ( x 1 + x 3 ) x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 2

∂ f ∂ x 3 = - x 3 2 + x 2 2 + x 1 2 - 2 x 3 ( x 2 + x 1 ) x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 2

Portanto,

d f x , y = - x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 - 2 x 1 x 2 + x 3 x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 2 d x 1 + - x 2 2 + x 1 2 + x 3 2 - 2 x 2 x 1 + x 3 x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 2 d x 2

+ - x 3 2 + x 2 2 + x 1 2 - 2 x 3 x 2 + x 1 x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 2 d x 3

Resposta

d f x , y = - x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 - 2 x 1 x 2 + x 3 x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 2 d x 1 + - x 2 2 + x 1 2 + x 3 2 - 2 x 2 x 1 + x 3 x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 2 d x 2

+ - x 3 2 + x 2 2 + x 1 2 - 2 x 3 x 2 + x 1 x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 2 d x 3

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