Calcular ∂f/∂v | x_0, y_0 na direção v = 2i - j :

f(x, y) = 3x^2 - 2y^2; (x_0, y_0) = (1,2)

Passo 1

Para acharmos a derivada na direção do vetor v → vamos usar aquela relação lá da teoria, se liga só:

∂ f ∂ v x 0 ,   y 0 = ∇ f x 0 , y 0 ⋅ v v

Então vamos começar encontrando o gradiente de f !

Passo 2

Para acharmos o gradiente, vamos fazer o seguinte:

∇ f x , y = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j →

Substituindo:

∇ f x , y = ∂ 3 x 2 - 2 y 2 ∂ x i → + ∂ 3 x 2 - 2 y 2 ∂ y j →

Derivando parcialmente:

∇ f x , y = 2 × 3 x   i → + 2 × - 2 y   j →

Logo,

∇ f x , y = 6 x   i → - 4 y   j →

Então no ponto 1,2 , temos:

∇ f 1,2 = 6   i → - 8   j →

Reescrevendo:

∇ f 1,2 = 6 , - 8

Passo 3

Voltando para formula do Passo 1, temos:

∂ f ∂ v 1,2 = ∇ f 1,2 ⋅ 2 , - 1 2 , - 1

Substituindo com o que achamos no passo anterior:

∂ f ∂ v 1,2 = 6 , - 8 ⋅ 2 , - 1 2 , - 1

Como 2 , - 1 = 1 2 + 2 2 :

∂ f ∂ v 1,2 = 6 , - 8 ⋅ 2 , - 1 2 2 + - 1 2

Fazendo o produto escalar:

∂ f ∂ v 1,2 = 12 + 8 5

Isto é,

∂ f ∂ v 1,2 = 2 0 5

Racionalizando, temos:

∂ f ∂ v 1,2 = 20 5 × 5 5

Portanto,

∂ f ∂ v 1,2 = 4 5

Resposta

∂ f ∂ v 1,2 = 4 5

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